2015-01-30
401
Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Формулировка
Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и полная группа попарно несовместных событий \{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}, таких что
\forall i \; \mathbb{P} \; (B_i) > 0;
\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing;
\sum_{i=1}^n B_i=\Omega.
Пусть A \in \mathcal{F} — интересующее нас событие. Тогда
\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i).
Замечание
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение
\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n).
Тогда
\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right],
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
Формула Бернулли.
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
|
|
|
Формулировка
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_{k,n} того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}, где q = 1 - p.
