Практическое занятие 2 по теме: «Локальный экстремум функций многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области. Условный экстремум»

План:

1. Изучение понятие локального и условного экстремумов.

2. Формулирование необходимых и достаточных условий экстремума.

3. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1)Найти стационарные точки функции

Находим частные производные первого порядка, приравниваем их к нулю и записываем систему уравнений:

Из второго уравнения следует, что или , или . Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдём четыре стационарные точки:

2) Ранее в примере 1 было установлено, что функция

имеет четыре стационарные точки:

Вторые частные производные данной функции равны

.

В точке имеем: A= 10, B= 0, C= 2. Здесь , значит, точка является точкой экстремума, и так как A положительно, то этот экстремум – минимум. В точке соответственно будет A=– 10, B= 0, C=– 4/3. Это точка максимума. Точки и не являются экстремумами функции, так как в них .

3) Исследовать функции на экстремум:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: – седловая точка.

3. . Ответ: .

4. . Ответ: – седловые точки.

4) Найти условный экстремум функции при условии

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее,

При поэтому функция в точке имеет условный минимум, а при, следовательно, функция имеет в точке условный максимум.

5)Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения

Решение: Построим функцию Лагранжа

Стационарные точки определим из системы

Умножим первое уравнение на , а второе – на . После вычитания получим

.

Если , то из первых двух уравнений системы . Но такие значения переменных и не удовлетворяют уравнению связи. Значит и так как , то . Подставляя это в уравнение связи, получаем: откуда , .

Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа .

Далее,

Тогда для при и получаем

Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалов и , , то есть . Тогда Поэтому при в точке функция имеет условный максимум, а при – условный минимум. Экстремальное значение равно .

Литература

Основная:

1. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. С. 217–224.

2. Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемых. - М.:, Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова «ДИС», 1988. - С. 61–64, 70.

3. Ильин, В.А., Высшая математика: учебник / В.А. Ильин, А.В. Куркина. - М.: Проспект, 2009. - С. 258–258.

4. Красс, Математика для экономических специальностей: учебник / М.С. Красс. - М.: ИНФРА-М, 1999. - С. 115–117.

Дополнительная:

1. Баврин, И.И. Математика для гуманитариев: учебник / И.И. Баврин. - М.: Академия, 2011. - С. 101–111.

2. Кремер, Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие. / Н.Ш. Кремер. - М.: Юрайт, 2011. - С. 187-198.

3. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика.: учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н. Данчула. - М.: РАГС, 2004. - С. 20–23.