Напряжения, действующие по наклонным площадкам при линейном (одноосном) напряженном состоянии. Максимальные нормальные и касательные напряжения

5.2. Напряжения на наклонных площадках при линейном напряженном состоянии

Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрестности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда – при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение. Нормальные напряжения в его поперечных сечениях определяются следующим образом: σ= N/Ao=F/Ao

Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками (σ1=σ0). Перейдем теперь к определению напряжений на неглавных, наклонных площадках. Выделим площадку, нормаль к которой составляет с осью стержня угол α. Проведенную таким образом наклонную площадку будем обозначать α-пло-щадкой, а действующие на ней полные, нормальные и касательные напряжения – pα, σα, τα соответственно. При этом площадь α-площадки (Aα) связана с площадью поперечного сечения стержня (A0) следующим образом: A α=Ао cos α. Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений. Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осевая сила (N) в сечении представляет собой равнодействующую полных напряжений pα.

Напряжения на наклонной площадке

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Абсолютное значение максимального касательного напряжения вычисляется по следующей формуле:

По закону парности касательных напряжений, такие же касательные напряжения возникают на площадках, перпендикулярных к этой наклонной площадке.

В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) на площадках, на которых возникают максимальные касательные напряжения, возникают инормальные напряжения. Последние равны половине суммыглавных напряжений и .

Если на площадках, где возникают наибольшие касательные напряжения, нормальные напряжения отсутствуют, то это площадки чистого сдвига.