Следствие из закона равномерного распределения нормального напряжения

Если σ = const, то

Следовательно σ = N / A

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенному к этому телу напряжению.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как

Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука для относительных величин запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент Пуассона и модуль Юнга полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала.

,

Где — коэффициент Пуассона;

— деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);

— продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

Выразим и F_инер через удлинение стержня. Имеем закон Гука:

.

1. Определение абсолютного удлинения стержня с одним и несколькими участками. Учет собственного веса стержня при растяжении-сжатии. Напряжения на наклонных площадках.

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса (стержня) выражается формулой:

, т.е.

Рассмотрим тяжелый стержень (т.е. учитывается собственный вес).

Пусть - плотность материала. Сделаем сечение на расстоянии s от свободного конца (см. рис.9.4.1)

Усилие сжатия на сечение будет:

Тогда

Итак, .

Рис. 9.4.1

Следствие: напряжение, возникающее под действием силы тяжести не зависит от площади и формы сечения, а зависит только от положения сечения и материала.

При изучении плоского напряженного состояния будем рассматривать только наклонные площадки, которые перпендикулярны граням параллелепипеда, на которых отсутствуют нормальные и касательные напряжения (рис. 6.4).

Положение наклонной площадкиопределяется углом , образующим внешнюю нормаль к этой площадке с осью z. Угол положителен, если отсчитывается против хода часовой стрелки.

Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке, проходящей через точку К, определяются по формулам:

Из формул нормальных и касательных напряжений на наклонных площадках, проходящих через рассматриваемую точку, видно: напряжения в наклонных площадках являются непрерывными функциями угла и могут иметь экстремальные значения: максимумы и минимумы.

Найдем угол наклона площадки , при котором нормальное напряжение принимает экстремальное значение.

Приравняем формулу к нулю. Получим формулу экстремального значения угла наклона площадки:

Найдем углы и , определяющие положение двух взаимно перпендикулярных площадок, на которых возникают экстремальные нормальные напряжения и в рассматриваемой точке К (рис. 6.5).

Максимальное нормальное напряжение всегда направлено в сторону, где сходятся касательные напряжения . (см. рис. 6.6.)

Касательные напряжения «создают» дополнительное удлинение одной из диагоналей.

1. Диаграмма растяжения стального образца и основные физико-механические характеристики стали.

Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах (например УММ-20 или МИ-40КУ) и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.

На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:

F - продольная растягивающая сила, [Н];

Δl - абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]

Рис. 1 Диаграмма растяжения стального образца

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I - участок пропорциональности;

II - участок текучести;

III - участок самоупрочнения;

IV - участок разрушения.

Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы.

В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а следовательно, и деформация Δl стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).

На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это говорит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня Δl растут пропорционально увеличивающейся нагрузке F.

После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на участке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси Δl, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки.

В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраивается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоупрочнения.

После повышения прочности материала образца, диаграмма снова "идет вверх" (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение (рис. 2), так называемая "шейка", вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).

Рис. 2 Стальной образец с "шейкой"

Вследствие утоньшения, и следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягиваещее усилие необходимое для его растяжения уменьшается, и кривая диаграммы "идет вниз".

В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец конечно же в сечении, где была образована "шейка"

Работа затраченная на разрыв образца W равна площади фигуры образованной диаграммой. Ее приближенно можно вычислить по формуле:

W=0,8F_max⋅Δl_max

По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.

Для получения непосредственно механических характеристик металла образца диаграмму растяжения необходимо преобразовать в диаграмму напряжений.

Для того чтобы правильно выбрать строительные материалы, необходимо знать их основные физико-механические свойства: удельный и объемный вес, плотность и пористость, водопоглощение, водопроницаемость, морозостойкость, теплопроводность, теплоемкость, огнестойкость, прочность, упругость, твердость.

1. Эксперименты на сжатие, срез (смятие и скалывание) образцов из различных материалов.

1. Понятие о допускаемых напряжениях и расчеты на прочность при растяжении-сжатии (четыре типа расчетов).

1. Статически неопределимые задачи растяжения-сжатия. Примеры; методы решения.

Задачи, в которых все реакции связей определяются из условий равновесия, называются статически определимыми. Если число неизвестных реакций связей превышает число уравнений равновесия, задача становится <span class="sel_navy">статически неопределимой</span>. Степенью статической неопределимости называется разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые для данной системы можно составить. Для решения статически неопределимых задач к уравнениям равновесия добавляют <span class="sel_navy">условия совместности деформаций</span>, являющиеся уравнениями, связывающими между собой деформации или перемещения отдельных частей тела.</p>