Загальні засади теорії портфеля. Оптимізація його структури

Подамо лише постановку та класичний розв'язок задачі.

Пусть R_it – норма прибыли от i-ой ценной бумаги (выраженная в процентах) за период t, где n – количество рассмотренных видов ценных бумаг; Т – объём выборки (количество исследований).

Норма прибыли портфеля в периоде t равна

(4.29)

де х_i— постійний коефіцієнт, частка інвестицій в i-й цінний папір, що є залученим до портфеля.

Сума всіх часток становить

(4.30)

Сподіване значення (математичне сподівання) норми при­бутку портфеля також є зваженою середньої очікуваної норми прибутку від окремих цінних паперів:

(4.31)

где

Рис. 4.9. Геометрична iнтерпретацiя оптимального портфеля

Ступінь ризику портфеля оцінюється середньоквадратичним відхиленням σ_р, яке обчислюється на базі варіації (дисперсії) його норми прибутку:

(4.32)

где σ_i² – дисперсия (вариация) нормы прибыли i-й ценной бумаги

; (4.33)

σ_ij – ковариация между нормами прибыли i-й и j-й ценных бумаг:

(4.34)

или

σ_ij = p_ij σ_i σ_j. (4.35)

Нехай норма прибутку цiнних паперів з фіксованим відсотком складає R_F. Для цих паперiв сподівана норма прибутку m_F теж дорівнює R_F,а ризик дорівнює нулеві, тобто m_F = R_F, σ_F = 0. Інвес­туючи капітал у цінні папери, обтяжені ринковими коливаннями (ризиком), прагнуть отримати найкраще співвідношення між до­датковим прибутком та зростаючим ступенем ризику.

Відкладемо на рис. 4.9 у просторі m_p — σ_рточку, що харак­теризує цінний папір з фіксованим прибутком R_F на осі ординат.

Зрозуміло, що найкраще співвідношення між приростом нор­ми прибутку і зростанням ризику забезпечує портфель цінних паперів, що позначений точкою Е, через котру проходить дотич­на до лінії ефективних портфелів, яка починається в точці R_F.

Отже, оптимальною структурою портфеля буде та, що від­повідає точці Е. її можна знайти за допомогою максимізації наступної функції [24, 61]:

φ = (m_p – R_F) / σ_p (4.36)

при условии, что (4.37)

де х_i—частка капіталу, що інвестована в i-й цінний папір.

Введемо обмеження (4.37) до цільової функції (4.36). Для цього запишемо R_F як

(4.38)

Сделав подстановку, получим:

(4.39)

Необхідно визначити коефіцієнти x_i, що максимізують цю функцію (4.39).

Цього можна досягти за допомогою звичайних засобів мате­матичного аналізу, прирівнявши перші часткові похідні функції ф, за шуканими параметрами до нуля. Одержимо систему рівнянь

(4.40)

Перемножив левую и правую части (4.40) на:

получим

(4.41)

Не важко помітити, що співвiдношення у квадратних дужках е константою, бо всі його складові є постійними. Позначимо його через (λ) і перепишемо (4.41) у виді

(4.42)

Эта система складывается из «n» неоднородных уравнений из (n + 1) неизвестными: λ, x_s, .

Введём новые изменения:

y_s = λx_s; . (4.43)

Подставив их «у» (4.42), получим систему «n» линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных у_s. Решив её, обозначим у_s, , а зная их, вычислим х_s, используя (4.37):

; . (4.44)

Величини x_s виз начають оптимальну структуру портфеля при заданому наборі цiнних паперів у формі прибутку R_F щодо паперу з фіксованим від рiком.

Але може так статися, що в результаті розв'язку системи (4.42) частина коефіцієнтів х_i набуде від'ємних значень.

Що ж робити в цьому випадку?

Якщо на коефіцієнти х_i накласти умови невід'ємності, тобто

x_i ≥ 0; i = (4.45)

то задачу знаходження максимуму (4.39) за умов (4.37), (4.45) можна розв'язати за одним із методів квадратичного про­грамування. Це пов'язано з тим, що цільова функція (4.39), котру необхідно максимізувати — нелінійна, в ній містяться члени з х_i² i x_i x_j.

Рішення знаходити просто за наявності відповідного про­грамно-технічного комплексу. Якщо умови (4.45) не накладаються, то від'ємне значення якогось з x_jозначає, що відповідні цінні папери необхідно продати на термін без покриття (to sell short), тобто при їх відсутності у продавця на час продажу. Іншими словами, йдеться про гру на пониження. Необхідно зазначити, що за кордоном більшість інституційних інвесторів не торгують цінними паперами на термін без покриття. А багатьом інституціям ця операція просто заборонена законом. Та все ж вона широко використовується, зокрема, на Нью-Йоркській та деяких інших фондових біржах і по суті є однією з форм позички.

У загальному вигляді задача щодо оптимального інвесту­вання в цінні папери допускає як позичку, так і надання кредитів. Позичка збільшує ресурси для інвестування, а на­дання кредиту рівнозначно (в певному сенсі) інвестуванню під фіксований відсоток. Для спрощення задачі вважають, що одер­жання та надання кредиту здійснюються за тим же фіксованим відсотком R_F.

Припустимо, що інвестор вирішив вкласти частину своїх засобів у певний портфель Е і, окрім цього, надати кредит чи взяти в борг під фіксований відсоток R_F. Проаналізуємо ці ситуації.

Нехай х — частка від позичкового капіталу, котру інвестор розмістив у вигляді портфеля Е. Величина х може бути більшою ніж одиниця, оскільки можна допустити, що інвестор може скористуватися позичкою та інвестувати більше, ніж величина його власного початкового капіталу. Якщо х — частка, вкладена у портфель Е, то (1 - х) повинно дорівнювати частці засобів, розміщених під фіксований відсоток.

Сподівана норма прибутку від комбінації з позичково-кре­дитною операцією може бути визначена так:

m_p = (1 – x) R_F + xm_E. (4.46)

Риск такой комбинации характеризуется величиной:

(4.47)

где σ_F = 0 и, следовательно, σ_EF = 0, т.е.:

σ_р = хσ_Е. (4.48)

Решая это уравнение относительно «х», получим:

(4.49)

Подставляем (4.49) в (4.46) и получаем

После переделки получим:

(4.50)

Рівняння (4.50) є рівнянням прямої у двомірному просторі (σ – т). Ця пряма називається лінією ринку капіталів i харак­теризує портфелі, що складаються як із цінних безризикових паперів, так і з цінних паперів, обтяжених ризиком.

Слід зауважити, що Коли х=1, тобто, коли відсутня позичково-кредитна операція, маємо, що m_p= m_E, σ _p = σ_Е.

На рис. 4.9 точка Е лежить на лінії MN (множина ефективних портфелів). Ця точка також належить до прямої R_FE, що є дотичною до множини ефективних портфелів (кривої MN):

Точку Е з координатами (σ_Е, m_E) називають ринковим портфелем.

Всі комбінації ринкового портфеля Е із позичково-кредит­ними операціями з фіксованим відсотком лежать вздовж прямої у просторі ризик — норма прибутку. Пряма перетинає вісь ординат на рівні R_F під кутом (α):

проходячи через точку Е (σ_Е, m_Е), котра репрезентує ринковий портфель (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Комбінація оптимального (ринкового портфеля Е) з кредитно-позичковими операціями: 1 — позика, 2 — кредит

На рис. 4.10 пряма R_FN являє собою множину оптимальних розв'язків, що характеризуються пропорційним (сталим) спів­відношенням приросту норми прибутку до зростання ступеня ризику.

Вибір залишається за менеджером (інвестором) залежно від його схильності до ризику.

Відрізок R_FE відображає рішення інвестувати певну частку власних засобів в портфель Е, а іншу частку віддати у вигляді позики під фіксований відсоток R_F. Вздовж відрізка ЕК роз­ташовані рішення щодо позички додаткових засобів, а весь сумарний капітал інвестується в портфель Е. Таким чином, у будь-якому випадку пошук точки Е на множині ефективних портфелів є розв'язком проблеми щодо оптимізації структури портфеля.

Приклад. Позика. Нехай інвестор посідає ефективний порт­фель, сподівана норма прибутку від котрого становить 20%, а ризик дорівнює 5%. На ринку доступні державні облігації (май­же безризикові), норма прибутку від яких становить 5%. Інвес­тор прийняв рішення щодо розміщення 75% засобів у ринково­му портфелі, решту — у цінні папери, що не обтяжені ризиком. Обчислити сподівану норму прибутку та ризик портфеля інвес­тора.

Розв'язання. Маємо, що m_E = 20%, σ_Е = 5 %, R_F= 5 %, σ_F = 0 %, х = 0,75.

Скориставшись формулами (4.46) і (4.48) одержимо сподівану норму прибутку та ризик портфеля:

т_р= 0,25 • 5 % + 0,75 • 20 % = 1,25 % + 15,0 % = 16,25 %;

σ_р = 0,75 × 5% = 3,75%.

Приклад. Кредит. Нехай інвестор посідає ефективний порт­фель, сподівана норма прибутку від котрого становить 20%, а ризик 5%. На ринку доступні безризикові цінні папери, норма прибутку від яких становить 5%. Інвестор прийняв рішення щодо розміщення 120% свого власного капіталу в ринковому портфелі.

Обчислити частку позичкових засобів, сподівану норму при­бутку та ризик його портфеля.

Розв'язання. Маємо, що m_E = 20%, σ_Е = 5 %, R_F = 5 %, σ_F = 0%, х=1,2.

Якщо х — частка, вкладена в ринковий портфель Е, то позич­ка повинна дорівнювати (1 - 1,2) = -0,2 від одиниці власного капіталу.

Сподівану норму прибутку та ризик портфеля інвестора одер­жимо за формулами (4.46) і (4.48):

m_р = (1 - 1,2) • 5 % + 1,2 × 20 % = -1,0 % + 24,0 % = 23 %;

σ_р = l,2 × 5% = 6%.

Приклад. Маємо, що норма прибутку безризикових цінних паперів складає 10%, сподівана норма прибутку ринкового портфеля —30%. Цей портфель обтяжений ризиком, величина якого σ_Е = 5%.Визначити сподівану норму прибутку інвестора при різних значеннях ризику, яким обтяжений його портфель, зокрема, σ_р = 0 %, σ_р = 2 %, σ_р = 5 %, σ_р = 10 %.

Розв'язання. Визначимо лінію ринку капіталів, підставляючи дані в рівняння (4.50):

т_р = 10 % + [(30 - 10)/5] σ_р = 10 % + 4σ_р.

Отже, ціна одиниці ризику складає 4 одиниці, тобто для ефективних портфелів кожний додатковий відсоток ризику ви­магає збільшення норми доходу на 4 %.

Підставляючи різні значення ризику до одержаного рівняння лінії ринку капіталів, одержимо:

• для σ_р = 0% m_р= 10%, це портфель, що містить лише безризикові цінні папери;
• для σ_р= 2 % m_р= 18 %, це портфель, що складається з вкла­день, обтяжених ризиком;
• для σ_р = 5 % m_р = 30 %,
• для σ_р= 10% m_р = 50%.