Спрощена класична модель формування портфеля

Найпростішою і широко використовуваною на практиці ма­тематичною моделлю для наближених розрахунків є запропонована Вільямом Шарпом однофакторна модель.

Ця модель ґрунтується на багаторічних спостереженнях і виявленні того факту, що норми прибутків більшості акцій, в ос­новному, залежать від одного чинника, котрий називають чин­ником ринку (біржі). На більшості бірж спостерігається, що зі зростанням ринкових індексів зростають пропорційно і ціни біль­шості акцій і навпаки. Ці спостереження дозволили висунути гіпо­тезу, згідно з якою норми прибутку акцій щільно корельовані віднос­но загальнобіржового індексу доходів (середньому по біржі в цілому). Цей індекс можна трактувати як гіпотетичний цінний папір (акцію), ціна котрого весь час коливається, і для якого, зокрема, можна визначити сподівану норму прибутку та варіацію. Цей гіпотетичний цінний папір можна прийняти за портфель ринку. Кореляційну залежність норми прибутку звичайних акцій від норми прибутку, котру вказує ринковий індекс, у середньому можна подати за допомогою рівняння регресії:

m_i = a + β_im_M +e_i, (4.45)

де m_i — сподівана норма прибутку i-й акції; m_M — сподівана норма при­бутку ринку (ринкового портфеля, до якого залучена і дана акція); a_i, β_i— коефіцієнта рівняння регресії; е_i — випадкова складова рівняння регресії.

Формула (4.51) називається характеристичною лінією цінного паперу, в даному випадку це — характеристична лінія i-й акції.

У цьому рівнянні норма прибутку певної акції «пояснюється» нормою прибутку ринку. Звичайно, «пояснення» є наближеним, тому що на норму прибутку акції впливає ряд інших чинників, окрім загальної ситуації на біржі, що виражається нормою при­бутку ринкового показника чи ринкового портфеля. Дію інших чинників відображає випадкова складова рівняння регресії (е_i). Власне, введення цієї випадкової величини дозволяє поставити знак рівності між лівою і правою частинами рівняння (4.51).

Дуже важливу роль у цьому рівнянні відіграє коефіцієнт β_i (в економічній науці та практиці його називають коефіцієнтом бета).

Йому можна дати наступну інтерпретацію: коефіцієнт бета звичайної акції вказує, на скільки відсотків наближено зросте (знизиться) норма прибутку акції, коли норма прибутку ринку зросте (знизиться) на 1%. Тобто, це означає, що коефіцієнт бета певної акції показує, в якій мірі норма прибутку акції реагує на зміни, що відбуваються на ринку в цілому. Як від­значається в другому розділі, коефіцієнт бета може трактуватися як міра ринкового ризику певної акції.

Наведемо кілька простих прикладів.

Коефіцієнт бета дорівнює нулеві (β_i = 0). Це означає, що норма прибутку даного цінного паперу ніяк не реагує на зміни на ринку. Тобто, даний цінний папір не обтяжений ринковим
ризиком. Таким папером може бути, зокрема, державна облі­гація, для котрої норма прибутку майже позбавлена ризику.

Величина коефіцієнта бета така, що 0 < β_i < 1. Це означає, що норма прибутку даної акції досить помірковано реагує на зміни, що відбуваються на ринку цінних паперів, таку акцію
називають дефенсивною (захищеною) акцією.

Коефіцієнт бета дорівнює одиниці (β_i = 1). Це означає, що норма прибутку даної акції змінюється так само як і норма прибутку ринку. Зауважимо, що ринковий портфель має кое­фіцієнт β = 1.

Величина коефіцієнта бета більша ніж одиниця (β_i > 1). Це означає, що норма прибутку акції значною мірою залежить від змін, що відбуваються на ринку. Таку акцію називають агресивною.

В Україні останнім часом починають в періодичних виданнях публікувати дані про це, але досить нерегулярно. В країнах з розвинутою ринковою економікою ряд солідних часописів систематично публікують коефіцієнт бета для багатьох акцій. Більшість акцій Нью-Йоркської біржі мають коефіцієнт бета, який знаходиться в інтервалі від 0,5 до 1,5.

Приклад. Маємо акцію, характеристична лінія котрої подана наступним рівнянням:

m_i = 3,1 + 1,3m_M + е_i.

Наведене рівняння показує, що зміна ринкового (біржового) показника на 1% призводить до зміни норми прибутку даної акції приблизно на 1,3%. Тобто, ця акція значно реагує на зміни на ринку цінних паперів.

Характеристична (ринкова) лінія акції може бути проілюст­рована графічно (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Ринкова лінія акції

На рис. 4.11 зображена характеристична лінія даної акції, де на осі абсцис відкладаються норми прибутку ринку, а на осі ординат норми прибутку даної акції. Коефіцієнт бета відповідає тангенсу кута „α” нахилу характеристичної лінії акції до осі абсцис. Отже, чим більшу величину має „β” акція, тим більшим є кут нахилу характеристичної лінії. Збільшення коефіцієнта „β” означає збільшення ступеня реагування норми прибутку акції на зміни норми прибутку ринкового показника.

Важливою проблемою є визначення характеристичної лінії акції. Існує декілька способів цього. Найчастішим є використання інформації за минулі періоди та широко відомого методу най­менших квадратів.

У випадку застосування методу найменших квадратів (не вдаючись в деталі) одержимо наступні рівняння для визначення коефіцієнтів а_iта β:

; (4.52)

a_i = m_i – β_im_M, (4.53)

де cov (R_i, R_M) — коваріація між i-ю акцією і нормами прибутку ринку; V(R_M) — варіація (дисперсія) ринкової норми прибутку цінних паперів; Т — кількість періодів, за які береться відповідна інформація; R_it — норма прибутку i-i акції в t-му періоді; R_Mt — норма прибутку показника ринку (індексу біржі) в t-му періоді; m_i — сподівана норма прибутку i-ї акції; m_M— сподівана ринкова норма прибутку.

У даному випадку

; (4.54)

(4.55)

Метод найменших квадратів дозволяє визначити також варіа­цію (дисперсію) ринкової норми прибутку і варіацію (дисперсію) випадкової складової.

Визначаються вони за допомогою таких формул:

; (4.56)

; (4.57)

где V_M = σ_M² – вариация показателя риска; - вариация случайной составляющей, которая отвечает i-й акции.

Приклад. Відомі норми прибутку акції, позначеної індексом "i" та норми прибутку ринку, що мали місце за останні 10 періодів. Дані приведені в табл. 4.10. Сума норм прибутку акції та ринку за всі періоди становить відповідно 80,0 та 70,0%.

Таблиця 4.10

Период	Норма прибыли	Период	Норма прибыли
акции	ринка	акции	ринка
	3,0	4,0		33,1	37,2
	18,2	14,3		6,1	23,8
	9,1	19,0		3,2	-7,2
	-6,0	-14,7		14,8	6,6
	-15,3	-26,5		13,8	13,5

Розв'язання. Обчислимо сподівані (середні арифметичні) нор­ми прибутку i-й акції та ринку, користуючись формулами (4.54), (4.55): m₁ = 80,0/10 = 8,0; m_M = 70,0/10 = 7,0.

Для обчислення коефіцієнтів (бета_i) і а_i скористаємося формулами (4.52) і (4.53), проміжні дані наведено в табл. 4.11.

Таблиця 4.11

t	Rit -mi	RMt - mM	(Rit -mi)(RMt - mM)	(RMt - mM)2
	-5,0	-3,0	15,0	9,0
	10,2	7,3	74,46	53,29
	1,1	12,0	13,2	144,0
	-14,0	-21,7	303,8	470,89
	-23,3	-33,5	780,55	1122,25
	25,1	30,2	758,02	912,04
	-1,9	16,8	-31,92	282,26
	-4,8	-14,2	68,16	201,64
	6,8	-0,4	-2,72	0,16
	5,8	6,5	37,7	42,25
Сумма	2 016,25	3 237,76

Після підрахунків одержимо

β_i = 2016,25/3237,76 = 0,623; а_i = 8,0 - 0,623 • 7,0 = 3,639.

Тепер можемо обчислити варіацію випадкової складової за формулою (4.57). Необхідні для цього проміжні дані наведені в табл. 4.12.

Таблиця 4.12

t	Rit	Rmt	Rit –ai – βiRmt	(Rit –ai – βiRmt)2
	3,0	4,0	-3,131	9,803
	18,2	14,3	5,652	31,945
	9,1	19,0	-6,376	40,653
	-6,0	-14,7	-0,481	0,231
	-15,3	-26,5	-2,429	5,900
	33,1	37,2	6,285	39,501
	6,1	23,8	-12,366	152,918
	3,2	-7,2	4,047	16,378
	14,8	6,6	7,049	49,688
	13,8	13,5	1,750	3,062
Сумма	350,079

Після підрахунків одержимо

V_{e i} = σ_{е i}² = 350,079/9 = 38,898.

Модель, що представляє кореляційну залежність згідно з формулою (4.51), дає можливість обчислити показники певних залежностей стосовно норм прибутків, ризику і коефіцієнтів кореляції різних акцій. Це такі залежності:

; (4.58)

; (4.59)

(4.60)

где m_i – норма прибыли i-й акции; σ_i² – вариация i-й акции; - вариация случайной составляющей, которая отвечает i-й акции; p_ij – коэффициент корреляции i-й и j-й акции.

Отже, робимо висновок, що:

1) для обчислення норми прибутку i-й акції необхідно мати коефіцієнт "a_i" коефіцієнт "β_i" цієї акції, а також сподівану (середню арифметичну) норму прибутку ринку;

2) для обчислення ризику i-й акції необхідно знати коефіцієнт "β_i", варіацію, пов'язану з ринком в цілому, а також варіацію випадкової складової, що відповідає даній акції;

3) для обчислення коефіцієнта кореляції i-й та j-ї акцій необхідно знати коефіцієнти "β_i" і "β_j", варіацію ринкового показ­ника, а також середньоквадратичні відхилення i-ї та j-ї акцій.

Формула (4.59) вказує на ще одну властивість, а власне, варіація акції, тобто ризик, яким вона обтяжена, може бути представлена сумою двох складових. Перша складова, що за­лежить від варіації показника ринку, відображає ризик ринку, відомий як систематичний ризик. Друга складова, будучи ва­ріацією випадкової складової, відображає специфічний ризик, що пов'язаний з даною акцією.

Частку систематичного ризику в загальному ризику i-й си­туації можна подати за допомогою коефіцієнта z_i, що обчис­люється за формулою

(4.61)

Велика частка систематичного ризику в загальному ризику певної акції вказує, зокрема, на те, що поводження ринку цінних паперів має великий вплив на ризик, яким обтяжена дана акція. І, навпаки, мала частка свідчить про те, що лінійна регресійна залежність між нормами доходу певної акції та ринку не досить добре характеризує цю залежність тощо.

Приклад. На базі даних за минулі періоди для двох акцій, позначених номерами 1 i2,обчислені такі величини:

a₁ = 4,5; β₁ = 0,5; а₂ = 2,5; β₂ = 1,2; m_M = 10 %;

σ_М² = 0,6; σ_е1² = 0,2; σ_е2² =0,3.

Обчислити норми прибутку, ризик обох акцій та коефіцієнт кореляції.

Розв'язання. Сподівані норми прибутку отримаємо, засто­совуючи формулу (4.58):

m₁ = 4,5% + 0,5×10% = 9,5%,

m₂ = 2,5%+1,2×10% = 14,5%.

Використовуючи формулу (4.59), одержимо

σ₁² = (0,5)² ×0,6 + 0,2 = 0,35; σ₂² = (1,2⁾² ×0,6+ 0,3 =1,164.

А середньоквадратичні відхилення, тобто ризики кожної з цих акцій будуть:

σ₁ = 0,592, σ₂ = 1,079.

Коефіцієнт кореляції акцій, обчислений за формулою (4.60), дорівнюватиме

р₁₂ = (0,5 × 1,2 • 0,6) /(0,592 • 1,079) = 0,639.

Частка систематичного ризику в загальному ризику кожної з акцій згідно з формулою (4.61) становить

z₁ = (0,5)² • 0,6/0,35 = 0,428, z₂ = (1,2)² • 0,6 /1,164 = 0,742.

Як бачимо z₂ > z₁, тобто акція 2 значно більше залежна від ринку стосовно ризику.

Поняття систематичного ризику (ризику ринку) і специ­фічного ризику має безпосередній зв'язок з диверсифікацією, з формуванням портфеля цінних паперів. Диверсифікація при­зводить до зниження ризику портфеля стосовно окремих цінних паперів, що залучені до нього. Однак, ризик портфеля далеко не завжди можна зробити рівним нулеві (якщо цей портфель не порожній чи не сформований лише з безризикових цінних паперів).

Вміла методика формування портфеля дозволяє суттєво зни­зити (позбавитися) специфічний ризик, яким він обтяжений. Однак залишається ще ризик ринку, котрий може мати певний (більший чи менший) ступінь в складі всіх акцій, що залучені до портфеля, вилучити котрий не вдається шляхом диверси­фікації.

Викладені вище засади класичної моделі мають широке за­стосування. Коефіцієнти "β" використовують під час прийняття рішень у фірмах. Вони придатні при обчисленні ціни необ­хідного капіталу для інвестиційних програм.

Коефіцієнти β означені вище як міра систематичного ризику окремих акцій (майнових активів).

Нехай розглядається портфель із "n" акцій (різних активів), части которых в портфеле составляют соответственно х_i, , а также известны коэффициенты β_i,

Можно довести, что коэффициент бета портфеля (β_р) вычисляется по формуле:

(4.62)

Приклад. Інвестор сформував портфель, 40% котрого скла­дають державні (майже безризикові) акції, 25% капіталу він вклав в акції А, дляяких коефіцієнт "β_А"= 0,5, решту 35% вклав в акції В, длякотрих "β_В" = 1,2. Обчислити коефіцієнт "β" портфеля.

Розв'язання. Використовуючи формулу (4.62), одержимо

β_р = 0,4 • 0 + 0,25 • 0,5 + 0,35 ×1,2 = 0,545.

Отже, портфель інвестора характеризується низьким ступе­нем ризику ринку. Це досягнуто за рахунок того, що в структурі портфеля велику частку мають державні акції.

Необхідно зазначити: якщо певну фірму трактувати як мно­жину окремих груп активів, то, користуючись викладеним вище, можна обчислити, зокрема, вплив інвестиційних проектів на коефіцієнт "β" фірми в цілому. А, отже, на систематичний ризик, ціну власного капіталу, а також середньозважену ціну капіталу. Параметри ці мають вирішальний вплив на результати обчис­лення економічної ефективності інвестиційних проектів та від­повідних рішень.