Статистические распределения

· Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

,

где п — концентрация частиц; U— их потенциальная энергия; n ₀ — концентрация частиц в точках поля, где U =0; k =1,38∙10^-23 Дж/К — постоян­ная Больцмана; T — термодинамическая температура.

· Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

, или ,

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р ₀ — давление на этом уровне; g — ускорение свобод­ного падения; R =8,31 Дж/(моль∙К) — молярная газовая постоянная.

· Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x +d x, определяется по формуле

,

где f(x) —функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

· Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x +d x,

.

· Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f (υ) — функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от υ до υ+dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u +d u,

где u = υ/υ _в — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости υ _в; f (u) — функция распределения по относительным скоростям.

· Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p +d p,

,

где f (p) — функция распределения по импульсам.

· Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f (e)—функция распределения по энергиям.

· Среднее значение физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

< x> =ò x∙f (x)d x

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость)

;

средняя квадратичная скорость

< υ _кв>=< υ ²>^1/2,

где

;

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .