Примеры решения задач. Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г

Пример 1. В баллоне вместимостью V =6,9 л находится азот массой m =2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации a =0,2. Определить: 1) об­щее число N ₁ молекул и концентрацию n ₁ молекул азота до нагрева­ния; 2) концентрацию n ₂ молекул и n ₃ атомов азота после нагрева­ния.

Решение. По определению, концентрация частиц газа есть отношение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом:

n=N /V. (1)

1. Число N ₁ молекул газа до нагревания найдем из соотношения

. (2)

где v — количество вещества азота; n _a — постоянная Авогадро; М — молярная масса азота; M _r — относительная молекулярная масса азота; k =10^-3 кг/моль. Подставив значения величин в (2), получим

.

Концентрацию n ₁ найдем, подставив значения величин в (1):

.

2. Концентрацию после нагревания найдем из соотношения

, (3)

где N — число молекул, не распавшихся на атомы.

После подстановки значений величин в (3) получим

.

Концентрация атомов после нагревания азота

. (4)

Число 2 в формуле (4) выражает тот факт, что каждая молекула после распада дает два атома.

Подставим в (4) значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 2. В колбе вместимостью V =0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия поступательного движе­ния всех молекул может быть выражена соотношением

, (1)

где < e _п>— средняя энергия поступательного движения одной моле­кулы; N — число всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно,

, (2)

где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера­тура.

Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле

N = v∙N _A, (3)

где v — количество вещества кислорода; N _A — постоянная Авогадро.

Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем V _m равен 22,4×10^-3 м³/моль. Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кис­лорода в колбе выражается соотношением

v=V/V_m. (4)

Подставив выражение v по (4) в (3), получим

N = V∙N _A/ V _m. (5)

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движе­ния молекул примет вид

(6)

Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, най­дем

.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега< l > молекулы угле­кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость < J > молекул и число z соударе­ний, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул опре­деляется по формуле

,

где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

< υ >=362 м/с.

Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отно­шением средней скорости < υ > молекулы к средней длине ее свобод­ного пробега< l >:

<z>=<υ>/<l>.

Подставив в эту формулу значения < υ >=362 м/с, < l >=40 нм=4×10^{-8 м, получим}

< z >= 9,05×10⁹ с^-1.

Пример 4. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l= 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус R большого цилиндра равен5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d=2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль­ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто­янной частотой n ₁=20 с^-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения n ₂ = 1c^-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре­небречь. Масса m внешнего цилиндра равна100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воз­духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе­нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско­рость точек на поверхности цилиндра, т. е. υ =2p∙ n ₁∙(R – d). Так как d «R, то приближенно можно считать

υ»2p∙n₁∙R (1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр Приобретает момент импуль­са L=p∙R, где р — импульс, полученный за D t внешним цилинд­ром. Отсюда

p = L/R. (2)

С другой стороны,

, (3)

где h — динамическая вязкость; —градиент скорости; S —площадь поверхности цилиндра (S =2p∙ R∙l).

Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу­ченного равенства искомый интервал Dt, получим

.

Найдем входящие в эту формулу величины L, и S. Момент импульса L=J∙w ₂, где J — момент инерции цилиндра (J = m∙R ²); m — его масса; w ₂ — угловая скорость внешнего цилиндра (w ₂=2p∙ n ₂). С учетом этого запишем

L=m∙R²×2p∙n₂=2p∙m∙R²∙n₂

Градиент скорости .Площадь цилиндра равна S=2p∙ R∙l.

Подставив в (4) выражения L, , S, получим

.

Заменив здесь υ по (1), найдем

. (5)

Динамическая вязкость воздуха h == 17,2 мкПа×с= 1,72∙10^-5 Па∙с.

Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим

.

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH₃ при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

(1)

где i — число степеней свободы молекулы; k — постоянная Больцмана; Т— термодинамическая температура газа: T = t + Т ₀, где Т ₀=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой явля­ется молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (l):

.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определя­ется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви­жения.

Подставим в (2) значения величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам­миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (e) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща­тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель­ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае

Пример 6. Пылинки массой m =10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.}

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U=m∙g∙z, то

^.(2)

По условию задачи, изменение D n концентрации с высотой мало по сравнению с n (D n / n =0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации D n можно заменить дифференциа­лом d n.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

.

Так как , то

.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

.

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dzи Dn:

.

Подставим в эту формулу значения величин D n / n =0,01, k =1,38×10^-23 Дж/К, T =300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

Dz=4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m == 10^{-18 г) очень быстро изменяется с высотой.}

Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число D N молекул, скоростиυ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υ _в.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u = υ/υ _в). Число d N (u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до d u, определяется формулой

, (1)

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υ _max=0,001 υ _в, откуда u _max= υ _max/ υ _в=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u «1 имеем е^-2»1- u ². Пренебрегая значением u ² = (0,001)²=10^-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

. (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до u _max, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

.(4)

Подставим в (4) значения величин v, n _aи произведем вычисле­ния:

.

Пример 8. Зная функцию f (р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса< p ²>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса < p ²> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

. (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

(2)

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

. (3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

.

Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .

В нашем случае это даст

.

После упрощений и сокращений найдем

<p²>=3m∙k∙T.

Пример 9. Определить начальную активность А₀ радиоактив­ного магния 27Mg массой m =0,2 мкг, а также активность А по исте­чении времени t =1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа ра­диоактивны.

Решение. Начальная активность изотопа

А₀= λ∙N ₀ (1)

где λ — постоянная радиоактивного распада; N ₀ — количество ато­мов изотопа в начальный момент (t =0).

Если учесть, что

то формула (1) примет вид

Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:

A ₀=5,15×10¹² Бк=5,15ТБк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону

A=A ₀∙e^-λ∙t (3)

Заменив в формуле (3) постоянную распада λ ее выражением, по­лучим

A=A ₀ e^-ln2*t/T1/2 = A ₀ (e^ln2)^-t/T1/2

Так как e^ln2 = 2 окончательно будем иметь

A=A ₀ /2^t/T1/2

Сделав подстановку числовых значений, получим

A =8,05×10¹⁰Бк=80,5 ГБк.

Пример 10. При определении периода полураспада T_1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время ∆ t = 1 мин в начале наблюдения (t= 0) было насчитано ∆ n ₁=250 импульсов, а по истечении времени t =1 ч - ∆ n ₂=92 импуль­са. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада T_1/2 изотопа.

Решение. Число импульсов ∆ n, регистрируемых счетчиком за время ∆ t, пропорционально числу распавшихся атомов ∆ N.

Таким образом, при первом измерении

, (1)

где N ₁ — количество радиоактивных атомов к моменту начала от­счета; k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного прибора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изотопа).

При повторном измерении (предполагается, что расположение приборов осталось прежним)

, (2)

где N ₂ — количество радиоактивных атомов к моменту начала вто­рого измерения.

Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внима­ние, что по условию задачи ∆ t одинаково в обоих случаях, а также что N ₁ и N ₂. связаны между собой соотношением N ₂ = N _{1 ∙} e^-λt, по­лучим

(3)

где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы­числения l выражение (3) следует прологарифмировать: ln(∆ n ₁/∆ n ₂)= λ∙t, откуда

.

Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактив­ного распада, а затем и период полураcпада:

λ = (1/1)×ln(250/92)ч^-1 = 1ч^-1;

T _1/2 = ln2/λ = 0,693/1 = 0,693ч = 41,5 мин.