Сформулировать правило решения совместной системы линейных уравнений

1. Находим в матрице А ранг r отличный от нуля минор (базисный минор) порядка r.

2. Выбираем r уравнений системы, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Остальные уравнения отбрасываем.

Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, оставляем слева, а остальные n – r неизвестных переносим в правые части уравнений и называем свободными.

Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными.

3. Каким-либо из известных методов (Крамера, Гаусса) находим выражение базисных неизвестных через свободные неизвестные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, находим соответствующие значения базисных неизвестных, то есть находим частные решения исходной системы.

Изложить суть метода Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных.

Суть метода состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключают неизвестное х₁; далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключают неизвестное х₂ и т.д. На практике все эти действия принято проводить не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.

Следует подчеркнуть, что в последнем абзаце речь идет не о всех элементарных преобразованиях, а только о следующих:

1) перестановка двух строк;

2) умножение всех элементов строки на любое отличное от нуля число;

3) прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число. Это связано с тем, что эти элементарные преобразования не меняют эквивалентности системы (то есть не меняют множество решений системы).

В результате элементарных преобразований расширенная матрица приведется к виду трапеции, так как в последнем уравнении останется одно неизвестное, в предпоследнем – два и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса.

Заметим, что при этом параллельно решаются вопросы о совместности и определенности системы.

Обратный ход метода Гаусса состоит в следующем: из последнего уравнения находим единственное входящее в него неизвестное, подставляем полученное значение в предпоследнее уравнение и находим второе неизвестное и так далее, пока не дойдем до первого уравнения, в котором уже найдены все неизвестные, кроме одного. Таким образом, получим совокупность значений неизвестных, образующих решение системы.