Аналитическая геометрия на плоскости

Основным методом решения задач аналитической геометрии является метод координат.

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат, которая задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми-осями координат, на каждой из которых выбрано положительное направление и масштаб.

Координаты произвольной точки А в системе ОХУ записываются так: А(х;у).

Напомним наиболее важные формулы и уравнения аналитической геометрии, необходимые для решения задач.

Так, пусть даны две точки и

Тогда: 1)Расстояние между ними определяется по формуле:

. (2.1.1)

2) Координаты точки М (х,у), делящей отрезок АВ в отношении , имеют вид:

(2.1.2)

3) В частности, координаты середины отрезка находятся по формулам:

(2.1.3)

4) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

(2.1.4)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом будет:

(2.1.5)

где - угловой коэффициент или тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох; b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.

Угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями с угловыми коэффициентами , находится по формуле:

. (2.1.6)

Из этой формулы легко получить условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Во многих задачах используется уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (уравнение пучка прямых):

, (2.1.7)

где (х ,у ) - координаты заданной точки (центр пучка).

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

Ах+Ву+С=0. (2.1.8)

Расстояние от точки А до прямой, заданной общим уравнением: Ах+Ву+С=0, находится по формуле:

. (2.1.9)