Метод Якоби

Исходная система может быть преобразована к эквивалентной системе вида:

, где

- некоторая новая матрица;

- некоторый новый вектор.

Метод простой итерации (МПИ) предполагает нахождение решения системы путем вычисления последовательных приближений с помощью рекуррентного равенства:

, где

- номер итерации, а - некоторое начальное приближение. Матрица называется матрицей итерирования или перехода.

Необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации при любом начальном приближении к решению системы является требование, чтобы все собственные числа матрицы перехода были по модулю меньше 1.

Устойчивый способ разложения .

,

В развернутом виде полученное матричное уравнение можно записать следующим образом:

Достаточный признак сходимости метода Якоби.

Метод Якоби сходится в случае диагонального преобладания в матрице коэффициентов СЛАУ:

, где .