Сплайн-интерполяция

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [а, Ь] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Слово «сплайн» (английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых: через заданные точки плоскости.

Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией явля­ется, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

Определение. S(x) – сплайн функция, которая соответствует данной функции f(x) и соответственно узлам , где i=0..n, и удовлетворяет следующим условиям:

1. На каждом отрезке S(x) – является многочленом третьей степени.

2.

S(x) и ее первая и вторая производные непрерывны на заданном интервале [ a,b ].

3. В каждом узле значения сплайна равны значениям исходной функции.

- коэффициенты в узлах

- могут быть определены из условия сшивки.

Таким образом, можно построить 3n - 2 уравнений, из которых и находят эти коэффициенты. Но необходимо задать еще и условия на границе.

Составим такую форму записи сплайна, которая включает в себя выполнение условия непрерывности самого сплайна и его второй производной.

- длина интервала

w- относительная координата, которая вычисляется следующим образом

- коэффициенты, которые нужно определить

1-я производная:

2-я производная:

Данное соотношение может быть записано для каждого узла выделенного интервала.

- конечная разность первого порядка.

Для крайних верхней и нижней строчек необходимо использовать условия на границе, которые будут иметь следующий вид.