Свойства дифференциальной функции

Свойство1. Дифференциальная функция неотрицательна ѓ(х)≥ 0, т.к. ѓ(х) есть производная от неубывающей функции. Геометрически это означает, что график функции ѓ(х) лежит не ниже оси абсцисс.

Свойство 2.. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1

.

Геометрически это означает, что площадь бесконечной полосы, ограниченной осью Ох и кривой ѓ(х), равна 1.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат (а, в), то

.

Вероятный смысл дифференциальной функции

Пусть Х – непрерывная случайная величина, F(x) её интегральная функция распределения.

По определению

F(x +Д x)-F(x)=P(x<X<x +Д x)

- средняя плотность вероятности на (x, x+Дx)

- плотность вероятности в точке х.

Итак, дифференциальная функция f(x) определяет плотность

распределения вероятности для каждой точки.

Известно, что F (x+ Д x) -F (x) ≈dF (x) =F' (x) dx=f (x) dx.

Итак, F (x+ Д x) -F (x) ≈f (x) dx=f (x)Д x.

Вероятностный смысл последнего равенства такой: вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее (x, x + Д x), приближённо равна (с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно Δ x) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Δ x.