Частица в прямоугольной потенциальной яме

При выращивании пленки узкозонного полупроводника между двумя слоями широкозонного материала может быть реализован потенциальный рельеф, показанный на рис. 1.4.

Рис. 4. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы

В этом случае задача определения стационарных состояний движения электрона сводится к задаче о поведении частицы в прямоугольной потенциальной яме.

Для асимметричной потенциальной ямы (рис. 1.4, а) с

при E< U₂ общие решения уравнения (1.1.2) в областях 1 - 3 (с постоянными значениями потенциала) можно представить в виде

(1.4.1)

где

Решения и записаны с учетом того, что они должны равняться нулю на бесконечности.

«Сшивая» волновые функции и их первые производные при x = ±0,5W, придем к уравнению

(1.4.2)

определяющему значения волнового вектора K, удовлетворяющие условиям данной задачи.

Подставляя и в (1.4.2), получим трансцендентное уравнение, позволяющее оценить разрешенные значения K:

KW=n (1.4.3)

где п = 1, 2, 3... нумерует разрешенные значения K в порядке их возрастания; / , j = 1, 2; значения арксинуса надо брать в интервале 0... /2.

Уравнение (1.4.3) определяет набор положительных значений волнового вектора К_п и, следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие этим состояниям. Таким образом, энергия частицы в потенциальной яме оказывается квантованной и принимает одно из разрешенных дискретных значений Е_п. Чтобы подчеркнуть это, потенциальные ямы (особенно узкие) часто называют квантовыми ямами (КЯ).

Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, значения K лежат только в интервале

. (1.4.4)

Если WG₂ < , то в КЯ находится не более одного разрешенного энергетического уровня. В общем случае количество разрешенных энергетических уровней в прямoугольной квантовой яме можно оценить, используя неравенство

n < (1.4.5)

Согласно (1.4.5) при U₂ ₁всегда найдутся столь малые значения WG₂, для которых в КЯ не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Заметим, что при U₂ = U₁ (рис. 1.4, б) условие (1.4.5) для п = 1 всегда выполняется. Следовательно, симметричная одномерная потенциальная яма с произвольными значениями W и U всегда имеет не менее одного разрешенного энергетического уровня. Более того, если в случае произвольного одномерного потенциала асимптотические значения и между ними находится один минимум, то всегда имеется, по крайней мере, один связанный уровень. Если же то связанного состояния может и не быть. В случае двух и трех измерений в неглубоких узких потенциальных ямах связанных состояний может не быть даже при т.е. частица не будет «захватываться» ямой.

Отметим, что согласно законам классической механики частица может «захватываться» и совершать финитное движение в любой потенциальной яме, лишь бы энергия частицы была достаточно мала.

Особенно простой вид имеют решения уравнения (1.4.3) для бесконечно больших значений U ₁и U₂. В случае прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками (БПЯ) согласно (1.4.3)

K_n= , (1.4.6)

где п = 1, 2, 3... В этом случае на ширине ямы укладывается целое число длин полуволн де Бройля

При этом разрешенные дискретные уровни энергии частицы определяются соотношением, эВ:

(1.4.7)

где m₀ - масса свободного электрона, W- в нм.

В случае БПЯ нормированные волновые функции частицы в состояниях с различными значениями Е_п могут быть представлены в виде

если п - нечетное,

(1.4.8)

если п — четное.

Согласно (1.4.8) волновая функция основного состояния (состояния с наименьшей энергией) не имеет нулей внутри квантовой ямы, функция (волновая функция первого возбужденного состояния) имеет один нуль (узел) внутри КЯ, функция имеет два узла и т.д. Аналогичную зависимость числа узлов волновой функции от номера возбужденного состояния демонстрируют и другие одномерные системы, в которых движение происходит в ограниченной области пространства.

В общем случае, когда разрешенные значения волнового вектора (а следовательно, и энергии) можно найти, решая уравнение (1.4.3) численно или графически. Однако и в этом случае удается получить ряд соотношений, облегчающих практические оценки.

Во-первых, можно показать, что

(1.4.9)

здесь представляет собой эффективную длину области локализации частицы с энергией Е_п и отражает тот факт, что частица, преимущественно локализованная внутри КЯ, все же проникает и в области барьеров.

Во-вторых, раскладывая arcsin в ряд, можно получить выражение для оценки разрешенных значений волнового вектора. Полагая Е_п<<U_j, получим

(1.4.10)

В первом приближении R₁ =R₂=1, При этом для Е_п/U_т_i_п <0,25 ошибка в оценке К_п по (1.4.10) будет менее 5 %, Во втором приближении следует полагать

(1.4.11)

здесь - энергия n-го уровня, рассчитанная в первом приближении при R_j=1. При использовании R_j в виде (1.4.11) ошибка в оценке К_п по (1.4.10) будет менее 2 % для Е_п/U_min < 0,3.

В-третьих, для симметричной КЯ (рис. 1.4, б) волновая функция, соответствующая состояниям положительной четности (n = 1 3,5...), может быть представлена в виде

(1.4.12)

где

(1.4.13)

Волновая функция, соответствующая состояниям отрицательной четности (n= 2, 4, 6...),

(1.4.14)

здесь

C_n=-D_n (1.4.15)

Для симметричной КЯ ширины W и глубины U₀, введя нормированные переменные Y = Е/Е* и Х = U₀/Е* (Е*= - энергия первого разрешенного уровня в БПЯ), выражение (1.4.2) можно представить в виде

(1.4.16)

Анализ (1.4.16) показывает, что в симметричной КЯ конечной глубины для 0<Х≤1 возможно существование лишь одного разрешенного состояния с энергией Е₁ Е*, для 1<x количество разрешенных состояний равно 2, для 4< X 9 равно 3 и т.д. Кроме того, если в симметричной квантовой яме возможно существование n-го энергетического состояния (с n 2), то независимо от глубины КЯ U₀ а общее число разрешенных энергетических уровней п в симметричной прямоугольной КЯ можно оценить, используя неравенство

Выполнив разложение (1.4.3) при Y/X <<1 (большие значения W и (или) U₀), для основного состояния в первом приближении получим, что

(1.4.17a)

Возникающая при такой аппроксимации ошибка представлена на рис. 1.5. Видно, что при Y> 0,37 ошибка определения положения первого разрешенного энергетического уровня в КЯ не превысит 5 %.

Рис.1.5. Характер ошибки, возникающей при аппроксимации выражения (1.4.16): Кривая 1- с использованием (1.4.17а), 2 - с использованием (1.4.17б), 3 - с использованием (1.4.17в), 4 - с использованием (1.4.19), 5 - с использованием (1.4.20)

Во втором приближении выражение для оценки Y принимает вид

(1.4.17б)

Такая аппроксимация дает ошибку меньше 5 % для Y ≥ 0,13. Если в (1.4.17б) изменить коэффициент перед в круглых скобках, т.е. положить, что

(1.4.17в)

то погрешность определения Yстанет меньше 5 % уже для Y ≥ 0,04

При очень малых W (узкая КЯ) разложение (1.4.3) в ряд для симметричной КЯ позволяет представить выражение для оценки энергии основного состояния в виде

или в переменных X и Y

Y (1.4.186)

Данное выражение можно использовать только при очень малых W. Анализ показывает, что расширить интервал приемлемых оценок положения основного состояния в КЯ в области малых X можно, изменяя коэффициент перед X в знаменателе (1.4.18б). На рис. 1.5 представлено поведение ошибки при использовании выражения

Y (1.4.19)

Еще лучшие результаты могут быть достигнуты при использовании выражения

(1.4.20)

Существует и другая возможность для оценки энергетического положения разрешенных состояний в симметричной КЯ конечной глубины. В этом случае, используя (1.4.16), рассчитывают зависимости Х от Y. При этом

. (1.4.21)

Зависимости Х(Y) для первых трех энергетических уровней, рассчитанные с использованием (1.4.21), приведены на рис. 1.6. По ним, задаваясь параметрами КЯ W, U₀ и т (т.е. X), можно определить Y и энергетическое положение уровней. Видно, что для КЯ заданной ширины с уменьшением глубины U₀ (т.е. X) будут происходить уменьшение энергии разрешенных состояний Y и последовательное выталкивание их из ямы (т.е. уровни будут сгущаться медленнее, чем уменьшается глубина ямы). Причем при изменении U₀ до E_n_-1() энергия n-го уровня в КЯ конечной глубины будет уменьшаться от Е_п ()лишь доE_n_-1(), а при дальнейшем уменьшении U₀ п-й уровень будет вытолкнут из ямы.

Решив одномерную задачу, в данном случае легко получить решение и для двумерного, и для трехмерного случая. Например, если частица движется в потенциальном поле U=U(x)+U(y)+U(z), где

, ,

,

то ее волновая функция , a E=E₁+E₂+E₃. В этом случае трехмерное уравнение Шредингера распадается на три независимых одномерных уравнения:

Рис.1.6. Зависимость X(Y) для первых трёх энергетических уровней с n=1,2 и 3 (кривые 1-3 соответственно), рассчитанные с использованием выражения (1.4.21)

Таким образом, чтобы получить решение для данной трехмерной задачи, достаточно решить одно из этих уравнений (что мы уже сделали ранее) и по аналогии записать решения для двух других уравнений. Отметим, что при h каждому значению энергии будет соответствовать одна волновая функция (х,у,z). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. В случае h=d=W симметрия поля совпадет с симметрией куба и система может иметь двукратно и трехкратно вырожденные уровни. Кроме того, особый характер зависимости потенциальной энергии от координаты в данном случае может приводить к дополнительному (случайному) вырождению.