Правила выполнения и оформления

Для студентов заочного отделения

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Дорошева Е.И., Ермаченко Ю.Г., Кондратьев В.С.,

Кондратьева И.В., Дорофеев В.Ю.

Методические указания и контрольные задания по курсу “Методы оптимальных решений” для студентов заочного факультетов. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2012.-37с.

Методические указания составлены в соответствии с учебной программой курса «Методы оптимальных решений» и предназначены студентам заочного отделения для самостоятельной работы.

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент – Сайбаталов Р. Х.

Издательство СПбГУЭФ, 2012

Преподавание математики студентам – экономистам, обучающимся на заочном отделении, имеет свою специфику. Студенты этих факультетов, в соответствии с учебной программой, определенные разделы курса должны изучать самостоятельно. Задачей данных методических указаний является помощь в обеспечении студентов материалами для самостоятельного изучения следующих методов решения задач математического программирования:

– графический метод решения задач линейного программирования;

– симплексный метод решения задач линейного программирования;

– методы решения транспортных задач;

– теория игр.

В методических указаниях имеются краткие сведения по теории указанных разделов и образцы решения типовых примеров.

Методические указания могут быть использованы преподавателями так же при проведении контрольных работ, на зачетах и экзаменах.

Вопросы для повторения теории охватывают все темы курса и позволят облегчить проведение зачета (экзамена) по данному курсу.

Вопросы для повторения теории.

Вопросы по математическому программированию.

1. Примеры производственных задач, сводящихся к задачам линейного программирования (задача о составлении производственной программы, задача о диете, задача о раскрое и др.).

2. Общая задача линейного программирования.

3. Понятие допустимого плана (решения) задачи и оптимального плана(решения) задачи.

4.Графический метод решения задач линейного программирования.

5. Каноническая задача линейного программирования, запись задачи в матричной и векторной формах.

6. Определение понятия опорного плана (базисного решения), свободных и базисных неизвестных.

7. Симплексный метод.

8. Построение первой симплексной таблицы.

9. Критерий оптимальности плана, записанного в форме симплексной таблицы.

10. Критерий отсутствия оптимального плана задачи вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых планов.

11. Метод однократного замещения.

12. Двойственная задача линейного программирования.

13. Транспортная задача. Матричная, табличная форма записи транспортных задач.

14. Методы построения начального опорного плана транспортной задачи.

15. Уравновешенная и неуравновешенная транспортная задача. Приведение неуравновешенной транспортной задачи к уравновешенной.

16. Метод потенциалов для решения транспортной задачи.

17. Платёжная матрица.

18. Чистая и смешанная стратегия. Цена игры.

Варианты контрольных работ.

Задачи 1.1-10.1 необходимо решить графическим способом.

Задачи 1.2-10.2 необходимо решить симплексным методом.

Задачи 1.3-10.3 имеют следующее условие.

В m пунктах отправления (ПО) имеется однородный груз в количествах . Этот груз нужно перевести в n пунктов назначения (ПН), потребности которых равны . Стоимость перевозки единицы груза из i – го ПО в j – ый ПН равна .

Требуется составить план перевозки грузов из ПО в ПН, при котором суммарные расходы на перевозку будут минимальными.

В задачах 1.4-10.4 необходимо найти цену игры и указать оптимальную стратегию для заданной платёжной матрицы.

Вариант №1.

1.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

1.2.

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-3y при тех же ограничениях.

1.2. Для изготовления изделий А и В предприятие использует три вида сырья. На производство одного вида изделия А требуется 12 кг сырья первого вида, 10 кг – второго и 3 кг – третьего, а на производство одного изделия В соответственно 3 кг, 5 кг и

6 кг. Производство обеспечено сырьем в количестве 684 кг, вто

рого – 690 кг, третьего – 558 кг. Одно предприятие А дает предприятию 6 млн. руб прибыли, а изделие В 2 млн. руб прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

1.3.

По\Пн	=20	=40	=40
=25
=30
=45

1.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 2.

2.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-y при тех же ограничениях.

2.2. Завод ремонтирует тракторы двух типов: первого - мощностью 300 л.с. и второго – мощностью 200 л.с.. За месяц завод может отремонтировать не более 15о тракторов. За ремонт трактора 1 типа завод получает чистой прибыли 1 млн. рублей, а за ремонт 2 типа 2 млн. рублей. Составить месячный план ремонта тракторов, при котором завод получит не менее 240 млню рублей прибыли и суммарная мощность отремонтированных тракторов будет наибольшей, если надо отремонтировать не менее 50 тракторов 1 типа.

2.3.

По\Пн	=25	=15	=20	=30
=20
=30
=15
=25

2.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 3.

3.1. Найти максимум целевой функции L =4x+3y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=2x-3y при тех же ограничениях

3.2. Предприятие производит изделия А и В и использует сырье трех видов. На производство одного изделия А требуется 3 т сырья первого вида, 2 т – второго и 2 т – третьего вида, а на производство одного изделия В соответственно 4 т, 2 т и 3 т. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 120 т, второго 60 т. Условия поставки и хранения сырья третьего вида таковы, что его расход должен быть не менее 30 т. Одно изделие А дает предприятию 2 млн. руб прибыли, а изделие В – 3 млн. руб прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

3.3.

По\Пн	=2	=5	=4
=6
=3
=2

3.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 4.

4.1. Найти максимум целевой функции L =x+2y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=3x-2y при тех же ограничениях

4.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изго-

товления этой продукции требуется четыре вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 2 ед. сырья первого вида, 2 ед. – второго и 3 ед. – четвертого, а для одного изделия продукции соответственно 2 ед. – первого, 1 ед. – второго и 3 ед. – третьего. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 19 ед., второго – 13 ед., третьего – 15 ед. и четвертого – 18 ед. Одно изделие дает предприятию доход 7 у.е., а - 5 у.е. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

4.3.

По\Пн	=5	=7	=3
=2
=6
=7

4.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 5.

5.1. Найти максимум целевой функции L =4x+y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x+y при тех же ограничениях

5.2. Автозавод выпускает грузовики грузоподъемностью 3т и 2т. Общая грузоподъемность автомобилей, выпущенных заводом за неделю, должна быть не менее 600 т. На производство одного трехтонного грузовика затрачивается 400 человеко-часов рабочего времени и 9 млн. рублей на закупку сырья, а на производство одного двухтонного – 500 человеко-часов и 26 млн. рублей соответственно. Предприятие располагает в неделю 400000 человеко-часов рабочего времени и может закупить сырья на сумму 5400 млн. рублей. Найти недельный план выпуска автомобилей, максимизирующий суммарную прибыль завода, если продажа трехтонного грузовика приносит прибыль в 10 млн. рублей, а двухтонного (повышенной проходимости) 30 млн. рублей.

5.3.

По\Пн	=20	=20	=43
=40
=23
=20

5.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 6.

6.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-2y при тех же ограничениях

6.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изготовления этой продукции требуется три вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 2 ед. сырья первого вида и 3 ед. – второго, а для одного изделия продукции соответственно 4 ед. – первого, 5 ед. – третьего. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 8 ед., второго – 6 ед. и третьего – 5 ед. Одно изделие дает предприятию доход 1у.е., а - 2у.е. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

6.3.

По\Пн	=17	=21	=41
=25
=32
=40
=20

6.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 7.

7.1. Найти максимум целевой функции L =3x+4y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x+y при тех же ограничениях

7.2.Для изготовления изделия А и В предприятие использует три вида сырья. На производство одного изделия А требуется 8 т сырья первого вида, 26 т – второго, а на производство одного изделия В соответственно 13 т и 16 т. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве104 т, второго 208 т. Кроме того, служба сбыта предприятия, проведя маркетинговые исследования установила, что конъюнктура рынка требует, чтобы изделий А производилось не менее 6 штук, а изделий В – не более 7 штук. Производство одного изделия А дает предприятию 6 млн. руб. прибыли, а изделие В – 2 млн.руб. прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

7.3.

По\Пн	=100	=30	=70
=50
=120
=30

7.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 8.

8.1. Найти максимум целевой функции L =4x+2y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=2x+3y при тех же ограничениях

8.2.Предприятие строит дома двух проектов А и В и использует три вида основных стройматериалов. На строительство дома по проекту А требуется 5 куб. м кирпича, 10 куб. м - пиломатериалов и 1 т – цемента, а по проекту В соответственно 6 куб. м – кирпича, 7 куб. м – пиломатериалов и 2 т – цемента. На плановый период предприятие обеспечено кирпичем в количестве 30 куб.м, пиломатериалами в количестве 49 куб.м. Из-за трудностей с хранением и большими запасами цемента, его расход не должен быть менее 6 т. Строительство одного дома по проекту А дает предприятию 4 млн. руб прибыли, а – по проекту В – 3 млн. руб прибыли.

Составить план работы предприятия по строительству домов, максимизирующий его общую прибыль, если оно может само выбирать, сколько и по каким проектам строить домов, и незавершенное строительство подлежит оплате пропорциональной выполненным работам.

8.3.

По\Пн	=20	=25	=15	=10
=40
=20
=10

8.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 9.

9.1. Найти максимум целевой функции L =6x+y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-y при тех же ограничениях

9.2.Швейная мастерская изготавливает простые и утепленные куртки и использует три вида ткани. На производство одной утепленной куртки требуется ткани первого вида на 11000 руб, второго на 13000 руб и третьего на 3000 руб, а на производство простой куртки – соответственно на 9000 руб, 8000 руб и 4000 руб. На плановый период закуплено ткани первого вида на 99000 руб, второго вида – 104000 руб. При производстве изделий, из соображений рентабельности всего производства, необходимо ткани третьего вида не менее чем на 12000 руб. Реализация одной утепленной куртки дает предприятию 50000 руб прибыли, а реализация простой куртки – 40000 руб прибыли. Составить план производства курток, максимизирующий общую прибыль предприятия при полной реализации произведенной продукции.

9.3.

По\Пн	=20	=40	=40
=30
=20
=20
=30

9.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант10.

10.1. Найти максимум целевой функции L =5x+4y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-2y при тех же ограничениях

10.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изготовления этой продукции требуется использовать два вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 19 ед. сырья первого вида и 22 ед. – второго, а для одного изделия продукции соответственно 11 ед. – первого, 38 ед. – второго. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 209 ед., второго – 418 ед.. Одно изделие дает предприятию доход 5 у.е., а - 4 у.е.. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

10.3.