Лемма о линейной независимости ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта

Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейнонезависимой системе строится ортогональная система такая, что каждыйвектор b_i линейно выражается через , то есть матрица перехода от { a_i } к { b_i } ―верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система { b_i } была ортонормированной ичтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система { b_i } иматрица перехода определяются однозначно.

Этот процесс применим также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы впроизведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольнойматрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.