Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном проявлении этих событий. Например, если А – деталь годная, В- деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Предположим, что событие В может произойти при условии появления события А, тогда вер-ть появления события В, вычисляется в предположении, что А уже произошло называется условной вер-тью события В: Р_А(В)

Теорема: вер-ть совместного появления двух событий = произведению вер-ти одного из них на условную вер-ть другого, вычисленного в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)·Р_А(В)

Док-во: Обозначим n – число всех элементарных исходов, m_A – число элементарных исходов благоприятных событию А, m_AB – число элементарных исходов, благоприятных совместному появлению А и В, т.е. АВ. Тогда: ; 1-я дробь = вер-ти события А, 2-я – условноу вер-ть события В (событие может наступить в каждом из элементарных исходов, благоприятных событию А): Р(АВ)=Р(А)·Р_А(В) ЧТД

Теорема умножения обобщается на случай совмещения нескольких событий.

Следствие: вер-ть совместного появления нескольких событий =произведению вероятности одногоиз них на условные вер-ти всех остальных, причём вер-ть каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р(А₁А₂А₃…А_n=Р(А₁)Р_А1(А₂)Р_А1А2(А₃)…Р_{А1А2…Аn-1}(А_n),

Пример. Реш-е: А – 1й шар кр; В – 2й шар синий

Р(А)=6/9=2/3; Р_А(В)=3/8; Р(АВ)=Р(А)· Р_А(В)==2/3·3/8=1/4