Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок

Рn=n!

где п! = 1·2·3.. ·п.

По определению, 0! = 1.

Пример 1. Написать перестановки А={a, b,c}

Р3 = 3! = 1·2·3 = 6.

(a, b, c), (a,c,b), (b,c,a), (b, a,c) (c,a,b), (c,b,a).

Размещениями называют комбинаций, составленные из п различных элементов по т элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 4х человек на 25 местах?

Искомое число способов=числу размещений из 25 по 4:

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример 3. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из5?

Решен и е. Искомое число способов

Принцип умножения в комбинаторике: Пусть необходимо выполнить одно за другим каких-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие можно выполнить n2 способами, после чего 3е действие можно выполнить n3 способами и т.д. до k-го действия, к-рое можно выполнить nk способами, то все k действия вместе м.б. выполнены n1·n2·n3…nk способами.

Пример 4. Реш-е: посчитаем сначала число способов, к-рыми можно покрасить забор так, чтобы любые 2 соседние доски были окрашены в различные цвета:

1ю доску можно покрасить люб. Из трёх красок;

2ю – одной из двух оставшихся;

3ю – одной из двух оставшихся

Т.е. число способов = 3·512=1536

В полученное число вошли и способы покраски в 2 цвета. Число таких способов =6. Итого: 1536-6=1530

При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n спо­собами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами