Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. А — появление четырех очков при бросании играль­ной кости; В — появление четного числа очков. События А и В— совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В)=Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: AВ', ĀВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Р(А + В) = Р(АВ') + Р(ĀВ) + Р(АВ). (1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А В' или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А)=Р(АВ') + Р(АВ).

Отсюда Р(АВ')=Р(А) — Р(АВ). (2)

Аналогично имеем Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ). =>Р(АВ)=Р(В) — Р(АВ). (3)

Подставив (2) и (3) в (1), окончательно получим Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). (4)

Замечание 1. При использовании полученной формулы сле­дует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий Р(А + В) = Р(А)+Р(В) — Р(А) Р (В);

Для зависимых событий Р(А+В) = Р (A) + Р(В)-Р (А) РА (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их сов­мещение есть невозможное событие и, следовательно; Р(АВ)=0=> Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Пример2. Реш-е: А – число, кратное 2; В-кратно 5; АВ-кратно и2, и5.

Р(А)=45/90=1/2; Р(В)=18/90=1/5; Р(АВ)=9/90=1/10; Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)=1/2+1/5-1/10=0,6

Формула полной вер-ти.

Теорема: вер-ть события А, к-рое может наступить лишь при условии появления одного из нескольких несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вер-тей каждого из этих событий на соответствующую условную вер-ть события А:

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Вn(А) (1)

(1) – формула полной вер-ти. События В₁, В₂, …, В_n – гипотезы.

Док-во: Событие А наступит, если наступит одно из несовместных событий АВ₁, АВ₂, …, АВ_n без различно какое. По теореме сложения имеем, что: Р(А)=Р(АВ₁)+Р(АВ₂)+…+Р(АВ_n)

Для каждого слагаемого в правой части применим теорему умножения и получим (1) ЧТД

Пример. Реш-е: Н₁ – сборщик возьмет деталь из первой коробки; Н₂ – из второй; Н – возьмет станд.деталь.

Р(Н₁)=1/2; Р(Н₂)=1/2; Р_Н1(А)=10/15=2/3; Р_Н2(А)=18/20=9/10;

Р(А)=Р(Н₁)Р_Н1(Н)+Р(Н₂)Р_Н2(Н)=1/2·(2/3+9/10)=47/60=0,783