Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительной частотой события называют отноше­ние числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А опре­деляется формулой

W(A)=m/n,

где m — число появлений события, n—общее число испы­таний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Дру­гими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одина­ковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свой­ство состоит в том, что в различных опытах относитель­ная частота изменяется мало {тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого по­стоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена от­носительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 1. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления «герба». Результаты не­скольких опытов приведены в табл.

Относит.частоты незначит. Отклоняются от числа 0,5, причём чем меньше, чем больше число испытаний.

Если учесть, что вер-ть появления «Г» при бросании монеты=0,5, то вновь убеждаемся, что относит. Частота колеблется около вер-ти.

Наиболее слабая сторона классич. Опр-я вер-ти состоит в том, что оч.часто невозможно представить результат испытания в виде сов-ти элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элемент.соб-я равновозможными. Поэтому наряду с классич. Определением вер-ти используют и др. опр-я вер-ти В частности, статистическое: В качестве статистической вер-ти события принимают относит. частоту или число близкое к ней.

Однако и опр-е статистич.вер-ти имеет свои «-«. Например, неоднозначность статистич.вер-ти. Так в рассмотренном примере в кач-ве вер-ти события можно принять не только 0,5, но и 0,5069, и 0,5016 и т.д.

Понятие «геометрическая вер-ть» сост. в след:

Путь в область G бросается наудачу точка. Выражение «бросается наудачу» понимается в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области G. Вер-ть попасть в какую-л. часть области G пропорциональна мере этой части (длина, площадь, объем) и не зависит от ее расположения и формы.

Т.о. если g – часть области G, то вер-ть попадания в обл-ть g по определению= Р(g)= мера g/мераG. Заметим, что здесь пр-во Ω всех элементарных исходов представляет собой сов-ть всех точек области G и значит состоит из бесконечного множества элементарных событий=>понятие «геом. Вер-ть» можно рассматривать как обобщение понятия «классич. Вер-ть» на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Задача о встрече. Реш-е: Обозначим через х и у моменты прихода лиц А и В. Встреча состоится, если |х-у|≤10.

Если изображать х и у как декартовы координаты на пл-ти, то все возможные исходы изобразятся точкой квадрата со сторонами 60.

-10≤у-х≤10

х-10≤у≤10

у=х-10

у=х+10

Задача Бюффона. Реш-е: введём обозначения: х – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели;

φ – угол, составляющий этой параллелью с иглой.

Положение иглы полностью опр-ся заданными определенными значениями х и φ. Причем х Є(0;а), φЄ(0;π). Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и π.

Т.о. этот прямоугольник можно рассмотреть как фигуру G, точки к-рой представляют собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, эта площадь фигуры = πа.

Найдём фигуру g, каждая точка к-рой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка фигуры может служить серединой иглы, к-рая пересекает параллель.

Игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии: х≤l·sinφ

Т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис(2). Т.о. заштрихованную фигуру можно рассматривать как g. Найдём её площадь:

Ответ: 2l/аπ