Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k-строк и k-столбцов.
В матрице можно указать, например такие миноры:
- 1-го порядка
- 2-го порядка
- 3-го порядка
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков её миноров, не равных нулю. Обозначается .
Методы вычисления ранга матрицы:
а) метод окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем:
1) необходимо найти какой-нибудь минор М первого порядка, отличный от нуля.
Если такого минора нет, то матрица А нулевая и ;
2) Вычислить миноры 2-го порядка, содержащие М (окаймляющие М ) до тех пор, пока не найдется минор М , отличный от нуля. Если такого минора нет, то
если есть, то . и т.д.
3) Вычислить (если он существует) минор k-го порядка окаймляющие миноры . Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то ; если хотя бы один такой минор , то и процесс продолжается.
Пример. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров
|
|
.
Решение.
Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то
или >1
Найдём какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует)
или >2
Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно .