Ранг матрицы. Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель составленный из элементов матрицы

Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k-строк и k-столбцов.

В матрице можно указать, например такие миноры:

- 1-го порядка

- 2-го порядка

- 3-го порядка

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков её миноров, не равных нулю. Обозначается .

Методы вычисления ранга матрицы:

а) метод окаймляющих миноров

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем:

1) необходимо найти какой-нибудь минор М первого порядка, отличный от нуля.

Если такого минора нет, то матрица А нулевая и ;

2) Вычислить миноры 2-го порядка, содержащие М (окаймляющие М ) до тех пор, пока не найдется минор М , отличный от нуля. Если такого минора нет, то

если есть, то . и т.д.

3) Вычислить (если он существует) минор k-го порядка окаймляющие миноры . Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то ; если хотя бы один такой минор , то и процесс продолжается.

Пример. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

.

Решение.

Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то

или >1

Найдём какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует)

или >2

Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно .