Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными
где числа называется коэффициентами системы, а числа свободными членами.
Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система, не имеющая, ни одного решения называется несовместной.
Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множество всех решений этих систем совпадают.
Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме
,
где матрица коэффициентов системы ,
- столбец неизвестных,
- столбец свободных членов.
Матрица () = , называется расширенной матрицей системы.
4.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный способ). Формулы Крамера
|
|
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
или в матричной форме .
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае .
Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим . Поскольку и , то
(4.1)
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
то есть
Отсюда следует, что
Но есть разложение определителя
по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Итак, .
Аналогично: , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; .
Формулы
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Пример. Найти решения линейной системы уравнения использую обратную матрицу и формулы Крамера
Решение.
Найдем определитель матрицы системы:
система имеет единственное решение.
Найдем :
Отсюда получим решение системы уравнений (по формулам Крамера)
, , .
Ответ: (-4;1;2).
Решим данную систему, используя обратную матрицу.
, найдем матрицу алгебраических дополнений:
;
; ;
;
,
= .
,
,
.
Ответ: (-4;1;2).