2015-01-21
456
Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. П=П(х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.
Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют.
Рис. 15
Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (13.3). Рассмотрим графическое представление потенциальной энергии для тела в однородном поле тяжести и для упругодеформированного тела.
Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, согласно (12.7), П(h) = mgh. График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через начало координат (рис.15), угол наклона которой к оси h тем больше, чем больше масса тела (так как tga = mg).
Пусть полная энергия тела равна Е (ее график—прямая, параллельная оси h). На высоте h тело обладает потенциальной энергией П, которая определяется отрезком вертикали, заключенным между точкой h на оси абсцисс и графиком П(h). Естественно, что кинетическая энергия Т задается ординатой между графиком П(h) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из рис. 15 следует, что если 
, то Т = 0 и П = E = mghmax, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.
|
|
|
Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:
т.е.
откуда
Зависимость потенциальной энергии упругой деформации П = kx2/2 от деформации х имеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энергии тела Е — прямая, параллельная оси абсцисс х, а значения Т и П определяются так же, как на рис. 15.
Из рис. 16 следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая — уменьшается. Абсцисса 
определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, a 
— максимально возможную деформацию сжатия, тела. Если х= ± , то Т = 0 и П =E = 
, т.е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.
Из анализа графика на рис. 16 вытекает, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее и левее – , так как кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами - £ 
£ .
В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е — заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(x) £ E, т. е. в областях I и III.
|
|
|
Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е < П, а его высота определяется разностью Пmax – Е. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме АВС и совершает колебания между точками с координатами xA и xC .
В точке В с координатой x0 (рис. 17) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила (см. §12) 
(П — функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии 
, то в точке В Fx = 0. При смещении частицы из положения x0 (и влево, и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение x0 является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки 
(для Пmax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при смещении частицы из положения появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.
