Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/a
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие:, то она находится внутри эллипса, а если, то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex
Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.
Директрисы
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:
x = a/e; x = -a/e
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид:. Расстояние между фокусами:
2c =, таким образом, a2 – b2 = c2 = ½
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =