2015-01-21
1172
При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:
5x2 + 4xy + 2y2 + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)
Приведем уравнение кривой (3.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
a) Характеристическое уравнения для данной кривой будет иметь вид:
A(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2
Откуда следует, корни характеристического уравнения есть: l1 = 1, l2 = 6.
Расположение эллипса относительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.
Уравнения для определения координат центра имеют вид:
Откуда мы находим x0 = - 
и y0 = 
. Следовательно, точка O ¢ (- , ) есть центр данной кривой.
Угловой коэффициент оси O ¢ X можем определить по формуле:
б) Совершим параллельный перенос начала координат в точку O ¢ (x0, y0). При этом координаты x, yпроизвольной точки плоскости в системе координат xOy и координаты x ', y ' в новой системе координат x ' O ' y ' связаны соотношениями:
Подставив данные выражения в уравнение (3.1), получим:
5(x0 + x¢)2 + 4(x0 + x¢)(y0 + y¢) + 2(y0 + y¢)2 + 8(x0 + x¢) - 6(y0 + y¢) + 5=0
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
5x¢2 +4x¢y¢+2y¢2 +(10x0 +4x0 + 8)x¢ + (4x0 + 4y0 - 6)y¢ + (5x0 2 + 4x0 y0 + 2y0 2 + 8x0 - 6y0 + 5) = 0 (3.3)
В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, мы получим, найденные уже раннее, координаты центра O ¢, x0 = - и y0 = . Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системе координат x ' O ' y ':
5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 + (
) = 0
5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 - 
= 0 (3.4)
в) Так как a12 = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на угол a координаты x', y' произвольной точки М плоскости в системе координат x ' O ' y ' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями:
Подставим данные выражения в уравнение (3.4), получим:
5(Xcosa - Ysina)2 + 4(Xcosa - Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)2 - = 0
(5cos2 a + 4sinacosa + 2sin2 a)X2 + (-6sinacosa + 4cos2 a - 4sin2 a)XY +
(5sin2 a - 4sinacosa + 2cos2 a)Y2 - = 0 (3.5)
В полученном выражении найдём такой угол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:
-6sinacosa + 4cos2 a - 4sin2 a = 0
2tg2 a + 3tga - 2=0
Откуда, при решении, находим два значения tga = -2 и tga = 
.
В первом задании мы нашли, что угловой коэффициент вещественной оси O ' X эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двух найдённых значений выберем tga = -2. Следовательно:
cosa = 
, sina = 
Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:
(
)X2 + (
)Y2 - = 0
X2 + 6Y2 - = 0
(3.6)
- это каноническое уравнение данной кривой (3.1) при a = 0.
18. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F1 и F2, расстояние между ними — через 2с. По определению эллипса 2а > 2с или а > с.
Пусть F 1 и F 2 – фокусы, положим 
. Декартову систему координат зададим следующим образом: ось 0х направим по прямой F 1 F 2, а начало поместим в середину отрезка F 1 F 2. Тогда F 1(- с,0), F 2(с,0). (рисунок 2)
Рисунок 2
Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда 
где величина 
дана, причем 
.
Имеем:
, 
.
И, следовательно, уравнение эллипса примет вид:
Упростим это уравнение: перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части в квадрат.
Получим,
после раскрытия скобок и приведения подобных получим:
Разделим полученное равенство на четыре и возведем обе части еще раз в квадрат:
преобразуем:
.
После приведения подобных слагаемых получим:
Обозначим 
и разделим обе части последнего равенства на эту величину:
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
М r1
r2
F1 O F2 х
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:
a2 = b2 + c2
r1 + r2 = 2a.
