Примеры

= 35 – 12 = 23; = 24 + 2 = 26; = 0; = 1.

Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой 2-го порядка: (23) Уравнение (23) можно представить в виде , где – квадратичная форма уравнения кривой, а – линейная функция. Приведение уравнения кривой (23) к каноническому виду начинается с приведения к каноническому виду соответствующей квадратичной формы . Её матрица Из характеристического уравнения находятся собственные значения и матрицы , при этом , так как . Затем находят соответствующие собственные векторы, которые после нормировки образуют ОНБ . В новом базисе квадратичная форма примет канонический вид: . (24) Переход от ОНБ к ОНБ описывается матрицей , в столбцах которой находятся координаты векторов ОНБ . Связь между координатами и определяется из уравнения т. е. . (25) Подставляя зависимости (25) в линейную функцию получим: Тогда уравнение (23) примет вид: (26) Выделяя в (26) полные квадраты, получим каноническое уравнение одной из кривых 2-го порядка. О какой кривой идет речь, можно определить сразу по матрице квадратичной формы. Если , то линия, задаваемая уравнением (23), Эллиптического типа, если – Гиперболического, если – Параболического типа. Пример 20. Определить тип кривой 2-го порядка и построить её: Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция. Квадратичная форма, соответствующая заданной кривой, Её матрица . Так как , то кривая параболического типа. Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения матрицы : Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям: Построим ОНБ из собственных векторов: Матрица перехода Выполним проверку соответствия ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , значит, ориентация совпадает. В этом базисе . Так как то Подставляя эти разложения в линейную часть кривой, получим: Тогда уравнение кривой примет вид или т. е. где Заданная кривая изображена на рисунке 1.

16. Общий вид уравнения линии Г второго порядка:

Г: а ₁₁х² +2 а ₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а ₃₃ = 0 (9)

Если в уравнении (9) коэффициент а ₁₂ = 0, то уравнение (9) упрощается выделением полных квадратов (мы это сделаем ниже). Пусть а₁₂ ¹ 0. Поставим вопрос, можно ли найти систему прямоугольных координат так, чтобы в уравнении линии Г не было слагаемого с произведением координат. Решить этот вопрос попробуем с помощью поворота прямоугольной системы координат. В этом случае формулы преобразования координат:

Подставив в уравнение (9), получим

а ₁₁(х¹соsa - у¹sina)² + 2 а ₁₂(х¹соsa - у¹sina)(х¹ sina + у¹ соsa) + а ₂₂(х¹ sina + у¹ соsa)² + + 2 а ₁₃(х¹соsa - у¹sina) + 2 а ₂₃(х¹ sina + у¹ соsa) + а₃₃ = 0.

Раскроем скобки, приведём подобные и запишем уравнение в виде

+ 2 (10)

Новые коэффициенты выражаются через старые по формулам:

(11)

В уравнении (10) не будет слагаемого с произведением координат тогда и только тогда, когда = 0, т.е. . Отсюда (12)

Итак, если систему координат повернуть на угол a, определяемый по формуле (12), то в новой системе координат в уравнении линии Г не будет слагаемого с произведением координат. В этой системе координат уравнение будет иметь вид:

а ₁₁х² + а ₂₂у² + 2а₁₃х + 2 а ₂₃у + а₃₃ = 0 (13)

Возможны следующие случаи.

I. а ₁₁ ¹ 0, а ₂₂ ¹ 0. Выделим в правой части уравнения (13) полные квадраты.

а ₁₁(х² + 2 х + ) + а ₂₂(у² + 2 ) = .

Обозначим и свернём скобки.

(14)

После преобразования координат, сделанного по формулам (15), получим уравнение (16). Возможны случаи:

1) а ₁₁, а ₂₂ и m – числа одного знака. Разделим обе части на m и обозначим , . Уравнение (16) запишется (17). Это уравнение определяет эллипс.

2) а ₁₁, а ₂₂ – числа одного знака, m имеет противоположный знак. Разделим обе части уравнения (16) на (-m) и обозначим - , - . Уравнение (16) будет иметь вид (18)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Его называют мнимым эллипсом.

3) а ₁₁, а ₂₂ – числа разных знаков, m ¹ 0. Пусть m и а₁₁ одного знака. Обозначим , - . Тогда уравнение (16) запишется (19)

Это уравнение определяет гиперболу.

4) а ₁₁, а ₂₂ – числа разных знаков, m = 0. Пусть а ₁₁ > 0, а ₂₂ < 0. Обозначим , . Уравнение (16) преобразуется к виду . (20) Разложив левую часть на множители, получим . Отсюда либо , либо . Эти уравнения определяют пару пересекающихся прямых.

5) а ₁₁, а ₂₂ – числа одного знака, m = 0. Можно считать, что а₁₁ и а₂₂ положительны. Обозначим , . Уравнение (16) перепишется (21)

Это уравнение определяет единственную точку х¹ = у¹ = 0. Говорят, что линия Г распадается на пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке.

II. а₁₁ = 0, а₂₂ ¹ 0. Уравнение (13) преобразуется к виду

.

Обозначим m = , получим уравнение (22)

Возможны случаи:

1) а ₁₃ ¹ 0. Сделаем преобразование координат Если обозначить р = , то получим уравнение (у¹)² = 2рх. (23) Это уравнение определяет параболу.

2) а₁₃ = 0. Сделаем преобразование координат . Получим уравнение а₂₂(у¹)² = m. Возможны случаи а) а₂₂ и m одного знака. Обозначим . Получим уравнение (у¹)² = а², а ¹ 0 (24). Это уравнение определяет пару различных действительных параллельных прямых.

б) а₂₂ и m разных знаков. Получим уравнение (у¹)² = - а², а ¹ 0 (25)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Линия Г называется парой мнимых параллельных прямых.

в) m = 0. Получим уравнение (у¹)² = 0. (26) Оно определяет пару совпавших прямых.

Итак, доказана

Теорема 9. Если линия второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением (9), то с помощью преобразования координат её уравнение можно привести к одному из следующих девяти видов:

(эллипс); (мнимый эллипс);

(гипербола); (пара пересекающихся прямых);

(пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке);

у² = 2рх (парабола) у² = а², а ¹ 0 (пара различных

параллельных прямых);

у² = - а², а ¹ 0 (пара мнимых параллельных прямых);

у² = 0 (пара совпавших прямых).

Из теоремы 9 следует метрическая классификация линий второго порядка: существует ровно девять типов линий второго порядка.

17.

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.