Выравнивание временного ряда

После выявления структуры временного ряда, первым этапом эконометрического моделирования по данным временного ряда является моделирование тренда – систематической составляющей, зависящей только от времени. Этот этап получил название выравнивания временного ряда.

Для выравнивания временного ряда используются методы механического и аналитического выравнивания.

Методы механического выравнивания (метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания и др.) подробно рассматриваются в курсе статистики.

В частности, метод скользящей средней основан на переходе от заданных уровней временного ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее (такое преобразование называется фильтрованием). При этом сам выбранный интервал времени “скользит” вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный, из-за усреднения отклонений ряда. Для выравнивания временного ряда методом скользящей средней в Exсel используется опция «Линейная фильтрация» инструмента «Подбор линии тренда».

Метод скользящей средней (как и другие механические методы выравнивания) пригоден лишь для осреднения значений ряда и не может быть использован для количественного прогнозирования. В то же время получение достаточно гладкой траектории дает возможность визуально оценить наличие тенденции в условиях сильной зашумленности ряда случайной компонентой, а также получить ответы на некоторые качественные вопросы относительно тренда.

В эконометрике основное внимание уделяется методу аналитического выравнивания, так как он дает количественную модель изменений временного ряда. При этом под аналитическим выравниванием временного ряда понимается построение аналитической функции для моделирования тренда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие регрессионные уравнения:

· (линейный тренд);

· (полиномиальный тренд);

· (гиперболический тренд);

· (экспоненциальный тренд).

Параметры модели определяются с помощью метода наименьших квадратов. При этом в качестве независимой переменной выступает переменная t, принимающая значения 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной – уровни y ₁, y ₂, …, y_n временного ряда. Для нелинейных трендов

предварительно проводится процедура линеаризации.

На стадии спецификации модели, т.е. при выборе аппроксимирующей функции , обычно отталкиваются либо от качественного анализа процесса, исходя из соображений экономической теории, либо от визуального анализа графика зависимости уровней ряда от времени. В большинстве случаев выбор наилучшего уравнения тенденции осуществляется путем перебора многих форм с последующим сравнением коэффициента детерминации для каждой из них. Предпочтение отдается той форме, для которой значение больше. Реализация такого подхода относительно проста при компьютерной обработке данных. В частности, для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Exсel используется инструмент «Подбор линии тренда» из Мастера диаграмм.

Трендовую кривую, аппроксимирующую временной ряд, называют еще кривой роста.

Наиболее часто в практической работе используются кривые роста, которые позволяют описывать процессы трех основных типов: без предела роста; с пределом роста без точки перегиба; с пределом роста и точкой перегиба.

Для описания процессов без предела роста чаще всего служат функции: прямая (полином первой степени) , парабола (полином второй степени) , экспонента и другие. Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объемных показателей.

Для описания процессов с пределом роста применяется, как правило, модифицированная экспонента и гипербола . При этом в случае экспоненты прямая является горизонтальной асимптотой. Коэффициент подбирается исходя из свойств прогнозируемого процесса или на основании экспертных оценок. Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на одну денежную единицу произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа (с пределом роста и точкой перегиба) используются логистическая кривая (кривая Перла-Рида) и кривая Гомперца . Такой тип развития характерен для растущих рынков, в частности, для описания развития спроса на некоторые новые товары. На основании кривой Гомперца также описывается динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т.д.

Параметры большинства кривых роста, как правило, оцениваются по методу наименьших квад­ратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график кри­вой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделей, в первую очередь, относится линейная модель роста .