Поток с ограниченным последействием

В п. 9.4 рассматривалось обобщение пуассоновского потока – нестационарный пуассоновский поток. Обобщением пуассоновского потока в другом направлении является поток с ограниченным последействием.

Рассмотрим ординарный поток однородных событий (п. 9.3). Этот поток называется потоком с ограниченным последействием (или потоком Пальма), если промежутки времени между последовательными событиями t₁ , t₂ , … представляют собой независимые случайные величины.

Очевидно, что простейший поток является частным случаем потока Пальма: в нем

расстояния t₁ , t₂ , … представляют собой независимые случайные величины, распределенные по показательному закону. Нестационарный пуассоновский поток не является потоком Пальма. Действительно, рассмотрим два соседних промежутка t _k и

t _{k+ 1} в нестационарном пуассоновском потоке. Как показано в п. 9.4, закон распределения промежутка между событиями в нестационарном потоке зависит от того, где этот промежуток начинается, а начало промежутка t _{k+ 1} совпадает с концом промежутка t _k. Значит, длины этих промежутков зависимы.

Примером потока с ограниченным последействием является поток Эрланга. Он

образуется “просеиванием” пуассоновского потока.

Рассмотрим пуассоновский поток и выбросим из него каждую вторую точку. Оставшиеся точки образуют поток. Этот поток называется потоком Эрланга первого порядка. Очевидно, что этот поток есть поток Пальма. Поскольку независимы промежутки между событиями в простейшем потоке, то независимы и величины t₁ , t₂ , …, получающиеся суммированием таких промежутков по два.

Поток Эрланга второго порядка получится, если сохранить в пуассоновском потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить.

Вообще, потоком Эрланга k - го порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую (k + 1)-ю точку, а остальные выбросить.

Пуассоновский поток можно рассматривать как поток нулевого порядка.

Предположим, что заявки обслуживаются в обратном порядке с прерыванием.

В каждый момент обслуживается та из находящихся в системе заявок, которая

поступила позднее других. При этом в случае если во время обслуживания некоторой заявки поступила новая заявка, то поступившая заявка прерывает обслуживание заявки,

находившейся на приборе. Заявка, обслуживание которой прервано, впоследствии дообслуживается с того места, где произошло прерывание. При этой дисциплине обслуживания стационарные вероятности в рассматриваемой системе обслуживания

не зависит от распределения времени обслуживания при фиксированном среднем

значении этого времени. Эти стационарные вероятности будут такими же, как для

дисциплины обслуживания с обслуживанием заявок в порядке поступления при показательном распределении времени обслуживания, т.е. эти вероятности вычисляются

по формуле (9.9.1). При этом среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявки в системе вычисляются соответственно по формулам (9.9.2) и (9.9.5).. Предположим теперь, что заявки обслуживаются в соответствии с дисциплиной равномерного разделения процессора, а именно, в случае если в системе находятся k заявок, то каждая из них обслуживается со скоростью 1/ k. При этой дисциплине обслуживания стационарные вероятности заявок в системе, среднее число заявок в системе

и среднее время пребывания заявки в системе не зависят от среднего времени обслуживания при фиксированном среднем и будут такими же, как при дисциплине обслуживания в обратном порядке, т.е. такими же, как при дисциплине обслуживания в обратном порядке с прерыванием.