Система массового обслуживания с относительными приоритетами

Предположим, что в систему массового обслуживания с ожиданием поступают N

пуассоновских потоков заявок с интенсивностями l₁, l₂, …, l _N. Время обслуживания заявки i –го потока имеет функцию распределения B_i (x) со средним значением b_i и вторым начальным b_i ⁽²⁾, i =1, 2, …, N. Эти потоки занумерованы в порядке важности заявок Предположим, что заявки i -го потока (i -го приоритета) образуют свою i -ю очередь, и условимся, что в момент окончания обслуживания на освободившийся прибор выбирается заявка из непустой очереди с минимальным номером. Другими словами, в момент окончания обслуживания некоторой заявки из очереди выбирается заявка наиболее высокого приоритета, причем при равенстве приоритетов преимуществом пользуется заявка, поступившая в систему раньше. Тогда говорят, что в системе массового обслуживания установлены относительные приоритеты.

9.11. Система массового обслуживания с абсолютными приоритетами

В п. 9.10 рассматривалась система массового обслуживания с дисциплиной относительных приоритетов. Перейдем к рассмотрению системы массового обслуживания с дисциплиной абсолютных приоритетов,а именно, с дисциплиной, при которой в случае если в момент поступления заявки на приборе находится заявка более низкого приоритета, поступившая заявка занимает прибор, вытесняя с него обслуживавшуюся заявку.

Пусть в системе массового обслуживания потоки занумерованы в порядке убывания их значимости. Говорят, что в системе действуют абсолютные приоритеты, если поступающая в систему заявка i -го приоритета замещает на приборе заявку j -го приоритета при i < j. Прерванная заявка возвращается на обслуживание, когда в системе не останется заявок более высоких приоритетов. Дообслуживание заявки всегда продолжается с прерванного места, вследствие чего время обслуживание заявки без учета перерывов в обслуживании заявки не зависит от числа прерываний.

В остальном рассматриваемая система аналогична системе, рассматривавшейся в

п. 9.10. Будем использовать обозначения, аналогичные использовавшимся в п. 9.10.

Стационарный режим существует при R_N < 1.

Среднее время v _i пребывания в системе заявки i -го приоритета складывается из

суммы среднего времени w _i ожидания начала обслуживания заявки и среднего времени обслуживания q _i заявки с учетом перерывов в обслуживания:

v _i = w _i + q _i, i =1, 2, …, N. (9.11.1)

Среднее время q _i обслуживания заявки i -го приоритета равно сумме среднего времени b _i обслуживания заявки i -го приоритета и среднего суммарного времени u_i перерывов в обслуживании заявки:

q _i = b _i + u_i, i =1, 2, …, N. (9.11.2)

Можно доказать следующие равенства:

u_i= R _i─ ₁ b_i / [L _i─ ₁(1 ─ R _i─ ₁)], i = 2, 3, …, N. (9.11.3)