Нестационарный пуассоновский поток

Если поток событий нестационарен, то его основной характеристикой является

мгновенная интенсивность l(t). Мгновенной интенсивностью потока называется предел

отношения среднего числа событий, приходящегося на промежуток времени (t, t + D t), к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю:

l(t) = lim _{D t ®0} (m (t + D t) ─ m (t)) / D t = m ‘ (t),

где m (t) ─ математическое ожидание числа событий на участке (0, t).

Рассмотрим поток однородных событий, ординарный и без последействия, но не стационарный, с переменной интенсивностью l(t). Такой поток называется

нестационарным пуассоновским потоком. Можно доказать, что для такого потока число событий, поступающих на участок длительностью T, начинающийся в точке t ₀ , подчиняется закону Пуассона

P_m (T, t ₀) = a ^m e ^{─ a} / m! (m = 0,1,2,…),

где a ─ математическое ожидание числа событий на участке от t ₀ до t ₀ + T, равное

^t ₀ + T

a = ò l(t) dt.

^t ₀

Здесь величина a зависит не только от длительности T промежутка времени, но и от его положения на оси времени.

Найдем для нестационарного потока закон распределения промежутка времени t между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси времени расположено первое из событий. Кроме того, он будет зависеть от вида функции l(t). Предположим, что первое из двух соседних событий появилось в момент t ₀ , и найдем при этом условии функцию распределения времени t между этим событием и последующим:

F (t) = P (t < t) = 1 ─ P (t ³ t).

t ₀

Найдем P (t ³ t) ─ вероятность того, что на промежутке времени от t ₀ до t ₀ + t не появится ни одного события:

^t ₀ + T

P (t ³ t) = e ^{─ a} = exp(─ ò l(t) dt ),

^t ₀

откуда

_{t + T}

⁰

F _t (t) = P (t < t) = 1 ─ exp(─ ò l(t) dt ).

^{0 t} ₀