Колебания

На первый взгляд незаметно, чтобы вокруг нас ежесе- кундно совершаются колебательные движения. Однако коле- бательное движение совершают атомы и ядра, планеты и звезды, они происходят в тканях живых и растительных ор- ганизмов, в электромагнитном и звуковом излучении. При- чиной проведения волн возбуждения по нервным волокнам является колебания значений трансмембранного потенциала в нервных клетках. Оказывается, весь окружающий нас мир находится в постоянном колебательном движении. Звук в радио, изображение в телевизоре, передача сигналов на рас- стоянии – это сумма большого количества колебательных движений. Колебания бывают, например, механические, электрические, электромагнитные, акустические. Механиче- ские колебания в среде приводят к возникновению механи- ческих волн, электромагнитные колебания вызывают появ- ление электромагнитных волн.

Рис. 1.14. Виды механических колебаний

Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях, называют механическим колебанием. Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными, а также существуют ав- токолебания (рис.1.14). Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того как сис- тема была выведена из состояния равновесия, если при этом нет воздействия извне. Колебания груза на пружине или ко- лебания маятника являются свободными колебаниями. Коле-

бания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простей- шим видом колебательного процесса являются простые гар- монические колебания.

Характеристиками колебательного движения являются период T, частота f, смещение x, амплитуда A (рис.1.15).

Периодом T называют время совершения одного полно- гоколебания тела. Частотой колебаний f называютчисло

полных колебаний в одну секунду. Ее измеряют в герцах (1 Гц = 1/с), 1 герц равен одному полному колебанию в се- кунду.

Частота обратно пропорциональна периоду колебаний:

f = 1. (1.5.1)

Циклической частотой колебаний (измеряется в единицах рад/c)называют величину

w = 2 p f

= 2 p. (1.5.2)

Смещением (x = x (t)) называется расстояние от положения тела в данный момент времени до положения равновесия. Амплитудой A называют максимальное смещение или наи- большее отклонение тела от положения равновесия.

Рис. 1.15. Характеристики колебательного движения

Гармонические колебания. Периодическое колебание тела, при котором его смещение относительно положения равновесия со временем описывается по закону синуса или косинуса, называют гармоническим. Колебательный процесс может происходить под действием как внешних, так и внут- ренних сил. Колебания под действием внутренних сил коле-

бательной системы называют свободными. В этом случае ис- ходная потенциальная энергия колебательного движения превращается в кинетическую энергию и обратно. Частота ω0, с которой совершаются такие колебания, называют соб- ственной.

Колебания груза на пружине. Уравнение гармонического колебания удобно рассмотреть на примере колебания груза на пружине (рис.1.16), поскольку эта простейшая модель может быть использования и для описания колебаний дипо- ля, гармонического осциллятора и в других случаях. Ускоре- ние тела в дифференциальной форме согласно (1.1.4) равно

d 2 x

a =

dt 2

= ˙ x ˙. Отсюда второй закон Ньютона можно записать

в виде

m ˙ x ˙ = - kx, (1.5.3)

где m – масса колеблющегося тела,

Fx = - kx

– сила упруго-

сти пружины, описываемая законом Гука.

Из формулы (1.5.3) получаем уравнение гармонических колебаний груза на пружине:

˙ x ˙ +

kx = 0. (1.5.4)

Рис. 1.16. Колебания груза на пружине

В теории дифференциальных уравнений решение урав- нения (1.5.4) ищется в виде

x = A cos(w 0 t + f), (1.5.5)

где величина A представляет собой амплитуду колебаний, величина f называется начальной фазой. Начальная фаза

показывает, в какой точке относительно начала координат находился груз в начальный момент времени.

С учетом того, что вторая производная по времени от гармонической функции (1.5.5) имеет вид

x = - w 2 x, (1.5.6)

уравнение (1.5.4) можно записать в виде

- w 2 х + k

х = 0.

Отсюда собственная частота колебаний груза на пружине

w 0=

. (1.5.7)

Она обратно пропорциональна корню массы колеблющегося тела m ~ 1 и прямо пропорциональна корню квадратному

√m

изкоэффициентаупругостипружиныm0 ~ √k.Чем тяже- лее тело и жестче пружина, тем меньше частота колеблюще- гося тела.

Полная механическая энергия груза на пружине равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

mv 2

kx 2

kA 2

E = Ех

+ u (x)= + =, (1.5.8)

2 2 2

где v – скорость, которую имеет груз массой m на расстоя- нии x от положения равновесия (максимальное отклонение груза от положения равновесия А).

Затухающие гармонические колебания. В реальных условиях на колеблющееся тело действует сила трения. На- пример, на качели действует сила сопротивления воздуха и трение в точках прикрепления качелей к оси. Если качели отвести высоко вверх, отпустить и в дальнейшем не подтал- кивать, то со временем частота и амплитуда качаний умень- шатся, и качели остановятся. Во всех живых организмах, на- чиная с клетки, происходят колебания. Поддержание ампли- туды этих колебаний происходит за счет поступления энер- гии из внешних источников, например, в результате перера- ботки пищи.

Полностью избежать трения невозможно. Поэтому ам- плитуда колебаний любого качающегося тела постепенно уменьшается до тех пор, пока они вовсе не прекратятся.

Затухающие гармонические колебания – это гармонические колебания с уменьшающейся амплитудой и постепенно уве- личивающимся периодом (рис.1.17).

Сила вязкого трения о воздух, вызывающая затухание, как отмечалось ранее, пропорциональна скорости (при малых скоростях):

F зат= – k вт v, (1.5.9)

где k вт – постоянная, имеющая размерность [ k вт] = Н · с/м.

В случае, когда брусок испытывает трение о воздух, а трением скольжения можно пренебречь, уравнение колеба- ния груза на пружине (1.5.3) имеет вид

ma = –kx – k вт v (1.5.10)

или в форме дифференциального уравнения

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = 0. (1.5.11) Решение этого уравнения, как показано в теории дифферен- циальных уравнений, следует искать в следующем виде:

- a t

x = Ae

cos w 0 t, (1.5.12)

где α – множитель, имеющий размерность с–1, описывает скорость уменьшения амплитуды.

Рис.1.17. Пример затухающего гармонического колебания

Из формулы (1.5.12) видно: чем сильнее трение, тем бы- стрее спадает амплитуда колебаний. Параметр скорости уменьшения амплитуды колебаний составляет

a = k вт

2 m

. (1.5.13)

Частота затухающих колебаний по сравнению с частотой собственных колебаний грузика на пружине с ростом силы вязкого трения уменьшается

k k 2

w 0=

- вт. (1.5.14)

m 4 m 2

Вынужденные колебания. Во многих случаях система не просто колеблется сама по себе, а испытывает еще и дей- ствие внешней силы, которая также меняется с определенной частотой. На примере качелей, хорошо видно, что если их подталкивать в такт, то амплитуда колебаний будет расти. Можно качели заставить колебаться с необходимой нам час- тотой, если их двигать рукой, не отпуская. В этом случае ка- чели будут колебаться с частотой вынуждающей силы. Если частота колебаний будет расти по сравнению с собственной частотой колебания качелей, то амплитуда и частота будут стремиться к нулю. Например, если стучать по качелям с большой частотой молотком, пытаясь их раскачать, то ин- туитивно ясно, что они просто остановятся. Становится по- нятно, что частота и амплитуда колебаний существенно за- висит от частоты внешнего воздействия.

Предполагая, что внешняя сила изменяется по гармони- ческому закону и может быть представлена в виде

F вын= F 0cos ωt, (1.5.15)

учтем ее в уравнении (1.5.10) одновременно с учетом силы трения. Тогда оно приобретает вид

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = F 0 cos wt. (1.5.16)

Решение уравнения (1.5.16) записывается в общем виде:

x = A 0sin(wt + j 0), (1.5.17)

где амплитуда вынужденных колебаний приобретает вид

A 0=

F 0.

0 вт

(w 2 - w 2)2+ k 2

m 2

(1.5.18)

Резонанс. Хорошо известен пример, когда частота вы- нуждающей силы (строй солдат, идущих в ногу по мосту) и собственных колебаний моста совпали, – и это привело к его разрушению. Если частота порывов ветра совпадает с часто- той собственных колебаний мачты, башни или крыши строе- ния, то это может привести к их разрушениям. Так, напри-

мер, под действием силы ветра колеблются вершины Остан- кинской телебашни и главного здания МГУ. Полностью от этих колебаний избавиться невозможно. При строительстве и подборе материалов можно уменьшить их амплитуду.

В современной технике эти факторы тщательно учиты- ваются. Толчки автомобиля о неровности дороги могут сов- пасть с частотой собственных колебаний какого-либо его уз- ла, привести к поломке. Еще пример: пение может заставить дребезжать фужеры и оконные стекла, раскачиваться балкон. Из выражения амплитуды (1.5.18) видно: когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний системы, амплитуда резко возрастает. Ее величи- на определяется коэффициентом затухания колебаний или величиной коэффициента трения. Это явление называется резонансом. Собственная частота колебаний системы ω 0на- зывается резонансной частотой. На рис.1.18 представлена зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней си-

лы, хорошо виден пик при равенстве частот ω 0= ω.

Особую роль играет резонанс в радиотехнике. Настройка приемника означает приближение его собственной частоты к частоте передающей радиостанции. Когда мы настраиваем приемник на нужную радиостанцию, то замечаем, что при повороте ручки настройки слышимость сначала возрастает, а затем снова уменьшается.

Рис. 1.18. Резонанс

При вынужденных незатухающих колебаниях

потери

энергии на трение компенсируются за счет внешнего источ- ника. Существуют системы, которые могут сами регулиро- вать поступление энергии от постоянного источника, они на-

зываются

автоколебательными, а процесс незатухающих

колебаний в таких системах – автоколебаниями. К ним отно- сятся, например, живые организмы и растения. В них посту- пление энергии извне регулируется на уровне клеток

Сложные колебания. Большинство реальных колебаний

в окружающем нас

мире не

являются

гармоническими.

Сложные

колебания

– колебания, в состав которых входят

два или более неравных по частоте гармонических

колеба-

ния. Такое сложное колебание раскладывают на ряд простых

гармонических колебаний с частотами,

кратными

частоте

сложного колебания, притом для каждого конкретного вида колебания разложение единственно.

Законы

разложения формулируются

теоремой

Фурье:

любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний, частоты которых кратны частоте этого колебания ω = 2 π/T.

Теорема Фурье позволяет разложить любую функцию с

периодом

, заданную в промежутке от

до в ряд гар-

монических функций с определенными амплитудами и фаза-

ми, частоты которых сумма дает функцию

кратны частоте этого колебания, а их

где

,,…,

, – целое число.

Рис.1.19. Представление сложного колебания в виде спектра

Разложение произвольной

периодической функции на

сумму гармонических колебаний называется гармоническим анализом. Результат гармонического анализа часто представ- ляют в виде так называемого спектра сложного колебания.

Для этого

на горизонтальной оси откладывают частоты со-

ставляющих гармонических колебаний,

а вертикальными

черточками обозначают соответствующие им амплитуды

(рис.1.20).

Волны

Виды волн. Камень, брошенный в воду, создает вокруг себя концентрические круги, состоящие из гребней и впадин, которые распространяются с некоторой скоростью от точки падения камня в воду. Волновым образом распространяется

свет, звук,

радиоволны. Волной считается и частица6. На-

пример, пучок электронов, проходя через щель, создает ин- терференционную или дифракционную картину.

Волной называют процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Источником любой волны является колебание, которое распространяется от источника

в виде волны. Если

источник

движется

синусоидально, со-

вершая гармонические колебания в упругой среде, то волна будет иметь форму синусоиды.

Характеристики волн: период Т, частота f, амплитуда а и смещение х определены в начале раздела 1.5. Длина и ско- рость волны определяются соответственно соотношениями

l = vT,

v = l f.

(1.6.1)

(1.6.2)

Если частицы колеблются в том же направлении, в кото- ром распространяется сама волна, волна называется продоль-

ной. Продольная волна состоит из чередующихся

деформа-

ций растяжения и сжатия среды (рис.1.20, а). Продольные волны могут распространяться в твердых телах, жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжа- тие, в результате которой появятся бегущие друг за другом

лно

ой дуализм

будет опи

ан позже.

6 Подробно корпускулярно-во в с

сжатия и разрежения среды. Примером продольной волны является звуковая волна.

Рис.1.20. Продольные и поперечные механические волны

Волны могут распространяться на большие расстояния, но частицы среды совершают колебания лишь в ограничен- ной области пространства. В случае, когда эти частицы ко- леблются вверх и вниз, т.е. в направлении, перпендикуляр- ном (или поперечном) движению самой волны, волна назы- вается поперечной (рис.1.20, б). Поперечными являются электромагнитные волны.

В продольной волне длина волны равна расстоянию ме- жду соседними сжатиями или разрежениями (рис.1.20, а). В поперечной волне – расстоянию между соседними горбами или впадинами (рис.1.20, б).

Уравнение волны. Любая волна, движущаяся вдоль оси x в открытом пространстве (такие волны называют бегущи- ми), будет описываться в простейшем случае гармонической функцией. Если волна движется от начала вдоль положи- тельного направления оси координат, то для ее описания справедливо, например, выражение

a = A sin 2 p (x - vt). (1.6.3)

0 l

Если волна движется к началу координат, –

a = A sin 2 p (x + vt), (1.6.4)

0 l

где a – смещение волны в точке x, v – скорость волны.

Энергетические характеристики волны. Волновое движение сопровождается переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Эта энергия складыва- ется из кинетической энергии колеблющихся частиц и по- тенциальной энергии деформированных участков среды.

Мгновенное значение полной энергии для разных частиц:

E = Eкин+ Eпот= mm2a2= mm2A2sin2 m (t —).

Среднее значение энергии за период:

Eср=

mm2A2

q∆Vm2A2

qm2A2

∆V = s∆V,

где

Е rw 2 A 2

e = ср = – количество энергии, заключенной

V 2

в единице объема среды, или объемная плотность энергии.

Энергия, переносимая волной через некоторую поверх- ность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток энергии Ф (1 Вт = 1 Дж/с) – количе- ство энергии, переносимой волной за единицу времени через некоторую произвольную поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны

Ф =. (1.6.5)

Плотностью потока энергии, или интенсивностью на- зывается количество энергии, переносимое волной за едини- цу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Плотность потока энергии или интенсивность I (1 Вт/м2= 1 Дж/с · м2) – средняя

энергия, переносимая волной за единицу времени через еди- ничную площадку, перпендикулярную направлению распро- странения волны

I= dEср