Проведение ХТП связано с переносом субстанции – импульса (количества движения), теплоты и массы (вещества).
Балансовые уравнения математически выражают законы сохранения субстанции.
Цель составления баланса:
1) нахождение связи между элементами баланса;
2) определение неизвестного элемента баланса;
3) проверка сходимости баланса.
Для составления баланса необходимо 1)выделить пространственный контур (контрольный объем); 2) установить временной интервал.
Пространственный контур может охватывать несколько аппаратов, один аппарат, часть аппарата или бесконечно малый объем аппарата.
В качестве временного интервала для периодических процессов обычно выбирают бесконечно малый промежуток времени , а для стационарных (непрерывных) процессов - единицу времени, например, 1сек.
Материальный баланс может быть частный (для одного компонента) и общий (для всех веществ в потоке).
Пусть Пр – приход субстанции в контур; УХ- уход субстанции из контура; Ис Ст – источники и стоки субстанции внутри контура; Нак и Рез – накопление субстанции в контуре за данный временной интервал или результат процесса. Например, источником может быть образование вещества или выделение теплоты смешения внутри контура, а стоком – исчезновение (полное или частичное) вещества или поглощение теплоты при смешении компонентов.
|
|
Источники и стоки отмечены на схеме крестиками или точками в маленьких кружочках.
Накопление – это разность между конечным и начальным количеством субстанции. Пусть масса субстанции М. В стационарном процессе Нак=МК-МН=0, т.е. накопление субстанции внутри контура К не происходит. В периодическом процессе для элементарного промежутка времени : Нак= .
Баланс импульса обычно сводится к балансу к балансу взаимодействующих сил. При этом внешние массовые силы (например, силу гравитации) относят к источникам или стокам импульса внутри контура. В этом случае применяют термин Результат (Рез) – изменение ситуации под действием равнодействующей всех сил, а не Накопление (Нак).
Запишем основное балансовое соотношение (ОБС):
ΣПр-ΣУх+ΣИс-ΣСт = Нак (Рез)
Для стационарного непрерывного процесса при отсутствии Источников и Стоков ОБС упрощается:
ΣПр = ΣУх
Аналогия процессов переноса субстанции
А) Законы молекулярного переноса
Различают два типа механизма переноса субстанции через поверхность S:
1 молекулярный – за счет хаотического теплового движения молекул;
2)конвективный (макроскопический) – макрообъемами системы (струйками).
В ламинарном потоке и неподвижной среде определяющую роль играет молекулярный перенос. Последний обусловлен стремлением системы к термодинамическому равновесию, т.е. к усреднению потенциала в данном объеме.
|
|
При переносе импульса потенциалом переноса может служить скорость ω или импульс единицы объема жидкости: [ω·ρ]=[кг·м/м3·с].
При переносе теплоты – температура или энтальпия единицы объема жидкости: [cp·ρ·t]=[Дж/м3], где cp – удельная массовая теплоемкость при постоянном давлении [cp]= [Дж/кг·К].
Изоповерхность – поверхность с постоянным значением потенциала переноса, например, изотермическая поверхность.
Удельный поток субстанции q (приходящий на 1 м2 изоповерхности в 1с и нормальный к этой поверхности) пропорционален градиенту потенциала переноса.
Градиент потенциала – рост потенциала на единицу длины по нормали к изоповерхности.
- градиент температуры; q – удельный тепловой поток [q]= [Дж/с ·м2].
Молекулярный перенос импульса описывается законом внутреннего трения Ньютона:
(А)
Направления потока импульса и градиента локальной скорости противоположны, поэтому в (А) знак «-».
Физический смысл μ: сила, действующая между двумя параллельными площадками в 1 м2 в жидкости, расстояние между которыми 1м, а разность скоростей площадок 1м/с.
Продольное касательное напряжение внутреннего трения τТ имеет размерность Н/м2, т.е. Па.
Уравнение (А) можно записать ωρ:
(В)
[ν]= [м2/с].
Молекулярный перенос теплоты подчиняется закону Фурье:
(С)
[qMt]= [Вт/м2].
Физический смысл коэффициента теплопроводности λ: количество теплоты, проходящей в 1с. Между двумя площадками в 1м2 при расстоянии между ними в 1м и разности температур в 1 градус, т.е. при единичном градиенте температуры; [λ]= [Вт/м·К].
Уравнение (С) можно записать через (энтальпию единицы объема жидкости):
(Д),
где - коэффициент температуропроводности, м2/с.
Молекулярный перенос вещества можно выразить первым законом Фика
(Е), где D – коэффициент молекулярной диффузии; [D]= [м2/с].
Физический смысл D: количество распределяемого компонента, которое переносится в 1с между двумя параллельными площадками в 1м2 при расстоянии между ними в 1м и при единичной разности концентрации.
Как видно, приведенные законы молекулярного переноса описываются аналогичными уравнениями.
Для газов эта аналогия очень близка, т.к. ν≈a≈D, для капельных жидкостей аналогия имеет ограниченный характер.
Б ) Дифференциальные уравнения переноса субстанции в движущейся жидкости (Навье-Стока, Фурье-Кирхгофа и Фика).
Запишем уравнение переноса импульса для несжимаемой вязкой (идеальной) жидкости объемом для оси z:
- уравнение Навье-Стока для нестационарного потока, где
- сила инерции;
- сила тяжести;
- сила давления;
- сила внутреннего трения;
- проекции скорости на оси координат.
С одной стороны, уравнение (А) можно трактовать как баланс сил, действующих на элементарный движущийся объем жидкости.
С другой стороны, уравнение (А) – это ОБС.
- локальное накопление (в данной точке) импульса во времени;
- накопление импульса за счет конвекции, т.е. при перемещении объема ;
- источник (или сток) импульса в контуре за счет силы гравитации;
- накопление импульса за счет силы давления;
- накопление импульса за счет силы внутреннего трения;
- оператор Лапласа (лапласиан), т.е. сумма вторых производных по координатным осям.
Запишем уравнение переноса теплоты в движущейся жидкости ( , среда – однофазная, неразрывная, изотропная):
- уравнение Фурье-Кирхгофа для нестационарного потока
соответствует локальному накоплению теплоты во времени средой объемом за счет изменения температуры в данной точке;
отвечает накоплению теплоты за счет конвекции;
выражает перенос теплоты кондукцией (теплопроводностью).
характеризует теплопоглощение (тепловыделение) внутри контура ;
|
|
- источник (или сток) теплоты в единице объема и в единицу времени [Дж/м3·с].
Запишем уравнение переноса вещества (массы) в движущейся жидкости (D=const, среда однофазная, изотропная, неразрывная):
- уравнение Фика для нестационарного потока
с – концентрация вещества [с]= [кмоль/м3];
соответствует локальному накоплению вещества во времени за счет изменения его концентрации в данной точке;
отвечает накоплению вещества за счет конвекции;
характеризует молекулярный перенос компонента;
выражает возникновение (исчезновение) вещества в объеме в результате химического превращения.