Лекция № 7. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений
и систем нелинейных уравнений.

Дано уравнение (скалярное)

f(x)=0, (1)

где f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b.

Всякое значение x, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что

f(x)=0.

называется корнем уравнения (1) или корнем (нулем) функции f(x)

f(x) – нелинейная функция, может иметь множество корней в рассматриваемом интервале.

Мы будем считать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:

1. Локализация или отделение корней, т. е. установление возможно тесных промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1);

2. Уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней используется графический способ, а также полезна известная теорема из математического анализа:

Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка,, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0, т. е. найдется хотя бы одно число xÎ(a, b) такое, что f( x)=0.

Эта теорема не дает ответ о количестве корней.

Корень x заведомо будет единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак (т. е. строго монотонна) внутри интервала (a, b), т. е. f’(x)>0 (или f’(x) <0) при a<x<.b

Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).

Простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке
[a, b], если f(x) - непрерывная функция и f(a)f(b)<0, является метод деления отрезка пополам.