Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями

Зададимся целью придать интерполяционной формуле более простой вид, подобный широко используемой в математическом анализе формулы Тейлора.

Такая структура интерполяционного многочлена позволила бы более просто перестраивать его степень, добавляя или отбрасывая удаленные от начала его записи члены.

Будем считать, что интерполируемая функция y=f(x) задана своими значениями y₀, y₁,…, y_n на системе равноотстоящих узлов
x₀, x₁, …, x_n, т.е. таких, что любой узел этой сетки можно представит в виде

x_i=x₀+ih,

где i=0, 1,…,n, а h>0 - некоторая постоянная величина, называемая шагом сетки.

Прежде чем строить желаемые интерполяционные формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Конечная разность 1- го порядка есть разность между значениями функции:

Конечная разность 2 – го порядка

Этот процесс построения разностей может быть продолжен, и описывается рекуррентной формулой, выражающей конечную разность
k - го порядка через разности (k-1) порядка:

k=1, 2,…,, n

Конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции (последние можно интерпретировать как конечные разности нулевого порядка). Эту общую таблицу называют таблицей конечных разностей.

x₀	y₀	Dy₀	D²y₀	D³y₀	D⁴y₀	.
x₁	y₁	Dy₁	D²y₁	D³y₁	D⁴y₁	.
x₂	y₂	Dy₂	D²y₂	D³y₂
x₃	y₃	Dy₃	D²y₃
x₄	y₄	Dy₄
x₅	y₅
.	.

Будем строить интерполяционный многочлен P_n(x) в форме:

(2)

Его n+1 коэффициент будем находить последовательно из n+1 интерполяционных равенств

,а именно, полагая i=0, т.е.

Имеем , а по условию интерполяции , следовательно,

Далее, при i=1, аналогично получаем равенство

в которое подставляем уже найденное значение .

Разрешая это равенство относительно, и используя обозначение конечной разности, получаем

Следующий шаг, при i=2, дает

Полной индукцией можно доказать справедливость выражения

(3)

Подставляя найденные коэффициенты в (2), получаем многочлен

(4)

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона..

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена, начиная со второго, содержит множитель , естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла
(при , близких к , ).

Будем называть узел базовым для многочлена (4), и упростим (4) введением новой переменной равенством , или (что - то же) равенством .

Так как при любых

то в результате подстановки этих разностей в (4) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

(5)

где обозначение указывает не только на n – ю степень многочлена, но и на базовый узел и связь переменных и .

Первая формула Ньютона обычно применяется при значениях , а именно, для интерполирования вперед, (при ,
т. е. при ) и экстраполирования назад (при ,
т.е. при ).

Для интерполирования в конце таблицы форма интерполяционного многочлена берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т. д., т. е.

(6)

Коэффициенты этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (2), только здесь подстановка узловых точек вместо и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Полагая , имеем:

и т. д. В общем случае

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

(7)

В котором базовым является узел и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей диагонали от .

Положим в (7), иначе, введем новую переменную и преобразуем к ней входящие в (7) разности:

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

(8)

Ее также целесообразно использовать при значениях , т.е. в окрестности узла для интерполирования назад (при ) и эктраполирования вперед (при ).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона, имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы (интерполяционная формула Стирлинга и формула Бесселя).

Теперь о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечно – разностной интерполяции.

В силу доказанной единственности интерполяционного многочлена Лагранжа, все построенные здесь интерполяционные многочлены Ньютона – это всего лишь различные формы его представления. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена, полученного для многочлена Лагранжа.

где

Для случая равноотстоящих узлов многочлен преобразуется к новой переменной следующим образом:

Отсюда

Итак, для ,. конечно - разностная интерполяционная формула Ньютона степениn с базовым узлом может быть записана в виде

, в котором - некоторая неизвестная, но фиксированная (при фиксированном ) точка интервала .

Аналогично, при выборе базового узла , т. е. для второй интерполяционной формулы Ньютона, получаем точное представление

, где

В силу связи (формула (1)) между производными и конечными разностями, выражение для (n+1) – ой производной

приближенно можно заменить на величину

В этом случае степень n интерполяционного многочлена должна быть заниженной по сравнению с n числом узлов (иначе конечная разность (n+1) – го порядка равна нулю).