Задача 4. Решение системы нелинейных уравнений

Система содержит уравнение окружности и уравнение прямой. Решением этой системы являются точки пересечения окружности с прямой. При этом прямая может пересечь окружность в двух точках, коснуться окружности в одной точке или не пересечь окружность вовсе. Таким образом, решений этой системы может быть не более двух или не быть вообще. Пара (х, у) является решением системы уравнения в том случае, если она является решением уравнения с двумя неизвестными:

Левая часть этого уравнения представляет собой функцию от двух переменных. Чтобы решить уравнение, нужно протабулировать эту функцию. За начальные приближения к корням уравнения выбираем пары (x, y), в которых функция ближе всех к нулю (рис. 10).

Рис. 10. Решение системы нелинейных уравнений

На рис. 10. в диапазоне А2:J11 представлена таблица значений функции двух переменных. В столбце А этого диапазона находится аргумент x, в строке 2 - аргумент у.

В ячейку В3 введите формулу, отражающую правую часть уравнения:

=(4*$A3^2+5*B$2^2-3)^2+(5*$A3+3*B$2-1)^2

и размножьте ее на всю таблицу.

Значения функции равные 0,56 (при х=0,5 и у =-0,5) и 3,31 (при x=0 и y=0, 5) расположены ближе всего к значению 0 (по сравнению с другими значениями функции), Эти две пары были взяты за первое приближение корней. В диапазон В14:С14 была помещена первая пара, а в диапазон В15:С15 - вторая. В диапазоне D14:D15 введены формулы, реализующие левую часть уравнения:

=(4*B14^2+5*C14^2-3)^2+(5*B14+3*C14-1)^2

формула в ячейке D14 использует значения из диапазона В 14:С14, а формула в ячейке D15 - из диапазона В 15:С15.

Чтобы найти первый корень, нужно выделить ячейку D14, вызвать окно Поиск решения и заполнить его, как показано на рис. 11. В рассмотренной задаче ограничения отсутствуют. В диалоговом окне Параметры поиска решения флажок Линейная модель должен быть сброшен.

Рис. 11. Решение системы нелинейных уравнений

После нажатия кнопки Выполнить будет найден первый корень: (0,556207; -0,59373). Второе близкое к нулю значение = 3,31 функция принимает при x= 0 и y=0,5. Чтобы найти второй корень, потребуется вызвать Поиск решения для второй пары. Через Поиск решения уточняем значения переменных, получаем второй корень: (-0,24568; 0,742745).