Функция двух переменных

Изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Определение: Функция двух переменных, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве. Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) является множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y). Так, например, (рис. 1.1) графиком функции является верхняя половина сферы, а графиком функции, - нижняя половина сферы.

Определение: Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называются независимыми переменными или аргументами, переменная называется зависимой переменной или функцией. Например: – функция трёх переменных. Функция трёх переменных подразумевает тот факт, что всё происходит в четырехмерном пространстве. График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность.

Для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных.

Частные производные. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(x,y). Придадим переменной х произвольное приращение , оставляя значение переменной у неизменным. Тогда функция z = f(x,y) получит приращение , которое называется частным приращением функции по переменной х в точке М(x,y).

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у: .

Определение: Если существует предел ,то он называется частной производной функции z = f(x,y) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов:

Частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у.

Частная производная функции двух переменных по переменной у представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной у при фиксированном значении переменной х.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение: Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:

Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной: .

Полный дифференциал функции. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(x,y). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке М(x,y), если ее полное приращение можно представить в виде , где и при , . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции z = f(x,y), линейная относительно и , называется полным дифференциалом функции и обозначается dz: .

Для независимых переменных x и y полагают , . Выражения и называют частными дифференциалами функции.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости): Если функция z = f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки М(x,y) непрерывные частные производные и , то она дифференцируема в этой точке, причем ее полный дифференциал выражается формулой . (6)

Пример 7. Найти полный дифференциал функции . Решение: Найдем частные производные функции , .