В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам если
· все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;
· ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.
Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам:
Матрица называется матрицей приведенного ступенчатого вида по строкам (или канонического вида по строкам) если она удовлетворяет дополнительному условию:
· каждый ведущий элемент ненулевой строки - это единица, и он является единственным ненулевым элементом в своём столбце.
Вот пример матрицы приведенного ступенчатого вида по строкам:
Отметим, что левый край матрицы приведенного ступенчатого вида по строкам не обязательно имеет вид единичной матрицы. Например, следующая матрица является матрицей приведенного ступенчатого вида
|
|
поскольку константы в третьем столбце не являются ведущими элементами своих строк.
16. Розмір та базис простору .
Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства .Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .
17. Матриці, дії над ними.
В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2, n).
Матрица называется прямоугольной, если m не равно n
Если же m = n, то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.
Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или 0mn
Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.
Матрица, которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A.
Операция перехода к матрице, транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.
|
|
Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.
Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A. Он обозначается символом |A|.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.
Результатом операции умножение матрицы на число, результатом является произведение матрицы на число, результатом операции сложения (вычитания) матриц является сумма (разность) матриц.