П.3. Корни из комплексных чисел

20 21 22 23 24 25 26

Определение. Пусть и . Корнем n-й степени из комплексногочисла z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степенииз комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

, (3)

где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

Доказательство. Обозначим

(4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что всеэлементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексногочисла z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексногочисла z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрическойформе записи следует, что равны их аргументы.

Но, аргумент числа может отличаться от числа на числократное числу (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к. и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней вмножестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .