Тригонометрическая форма комплексного числа

С каждым комплексным числом на плоскости связывается точка с координатами . Положение этой точки однозначно определяется расстоянием от начала координат и углом между положительным направлением вещественной оси и лучем, проведенным из начала координат в эту точку. Если угол отсчитывается в положительном направлении, то ему приписывается знак «+», а в противном случае знак «-». Комплексное число 0=0+0 i однозначно определяется расстоянием (равным 0) от начала координат, а потому ему значение угла не приписывается. Число называется модулем комплексного числа , а указанный выше угол называется аргументом и обозначается . Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного .

Из рисунка видно, что . Так что мы имеем следующий вид тригонометрической формы комплексного числа

А число, комплексно сопряженное к z,имеет такую тригонометрическую форму . Теперь, используя формулы для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов, получаем

При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем можно воспользоваться следующей формулой, которая называется формулой Муавра.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме очень полезно изобразить соответствующую этому числу точку (это избавит вас от ошибки в определении аргумента числа).

При решении задач часто используется следующий результат.

где .

Приведем примеры решения некоторых задач.

30. Формула Муавра.

еорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:

. (1)

Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть – натуральное число. Так как комплексное число имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.