Введем понятия группы

Множество элементов с определенной на нем групповой операцией называется группой, если выполняется следующие условия:

1. Замкнутость g_i g _j= g_k G в результате операции с двумя элементами группы получается третий, так же принадлежащий этой группе.
2. Ассоциативность (сочетательность) (g_i g_j) g_k = g_i (g_j g_k)
3. Наличие нейтрального элемента g_j e = g_j
4. Наличие обратного элемента. g_i (g_i)^-1= e

Если выполняется условие g_i g_j = g_j g_i, то группа называется коммутативной.

Множество кодовых комбинаций n-элементного кода является замкнутой группой с заданной групповой операцией сложение по модулю 2.

Поэтому используя свойство замкнутости относительно операции 2, множество всех элементов можно задать не перечислением всех элементов, а производящей матрицей.

Все остальные элементы, кроме 0, могут быть получены путем сложения по модулю 2 строк производящей матрицы в различных сочетаниях.

В общем случае строки производящей матрицы могут быть любыми линейно независимыми, но проще и удобнее брать в качестве производящей матрицы – единичную.