2015-02-27
3805
Основной метод для определения внутренних силовых факторов в сопротивлении материалов – метод сечений. Он дает возможность определить поперечную силу и изгибающий момент. Каким образом распределяются напряжения по сечению балки при изгибе? Эту задачу можно решить, рассматривая деформации. При рассмотрении деформации растяжения-сжатия было установлено, что все волокна материала получают в направлении действия сил одинаковые относительные деформации. Следовательно, нормальные напряжения при растяжении-сжатии распределяются равномерно. Установим, каким образом распределяются напряжения по сечению при чистом изгибе с помощью деформаций.
Возьмём часть балки, изгибаемую двумя равными и противоположно направленными моментами.
M N – нейтральный слой. Нейтральный слой не сжимается и не растягивается, он искривляется. Кривизной нейтрального слоя называется величина, обратная радиусу кривизны 
, размерность 
, 
- радиус кривизны.
Точка О общий центр кривизны. Выделим элемент бруса между двумя сечениями (1 и 2).
Нейтральные волокна не изменили размера, а волокна на расстоянии у удлинились.
dS – длина нейтрального волокна
- абсолютное удлинение растянутого слоя.
Из подобия треугольников 
и 
можно записать следующее соотношение:
-отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине равно относительной деформации 
, следовательно 
,
это значит 
- относительная деформация прямо пропорциональна расстоянию от нейтрального слоя и обратно пропорциональна радиусу кривизны.
Так как волокна бруса при изгибе испытывают только простое растяжение или сжатие, то для определения распределения напряжений по сечению можно применить закон Гука при растяжении-сжатии.
По этой формуле можно выяснить, что распределение напряжений по сечению зависит от y.
При y =0 (нейтральный слой) 
0
Максимальные напряжения будут в точке, для которой расстояние y наибольшее, т. е. на поверхности балки.
При отрицательном значении y меняется знак нормальных напряжений. Нормальные напряжения будут отрицательные.
Рассчитать нормальные напряжения по формуле невозможно, так как неизвестен радиус кривизны . Значит нужно перейти к известным величинам, к изгибающему моменту 
.
dМ – элементарный момент – момент, действующий на элементарную площадку. Равный произведению элементарной нормальной силы dN на плечо y.
,
Просуммируем (проинтегрируем) все элементарные моменты dМ по всему сечению, получим 
, приложенный к сечению:
- изгибающий момент, берётся максимальное значение с эпюры изгибающего момента.
Таким образом, можно определить неизвестную величину
- закон Гука при изгибе
Кривизна нейтрального слоя прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению модуля Юнга на осевой момент инерции сечения 
- жёсткость сечения при изгибе.
Вычислим значение напряжения в любой точке сечения
Нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны изгибающему моменту, расстоянию до нейтрального слоя и обратно пропорциональны осевому моменту инерции сечения.
Наибольшие нормальные напряжения на поверхности, при значении y = h/2
- момент сопротивления изгибу.
- момент сопротивления изгибу для прямоугольного сечения, геометрическая характеристика балки.
Условие прочности при изгибе:
Максимальные напряжения меньше или равны допускаемым. Прочность обеспечена.
При изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения.
Для этого рассмотрим продольную силу, действующую в любом сечении, которая по условию равновесия равна сумме внешних сил, действующих на отсечённую часть балки.
Так как все силы упругости, действующие в сечении, равны внешним, при этом сумма всех внешних сил в проекциях на ось оx равна нулю (два внешних момента, созданные из системы двух равных и противоположно направленных сил, равны и противоположно направлены).
Значит 
Заменим сумму на интеграл
Из всех слагаемых, входящих в данную формулу только статический момент площади сечения 
может равняться нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
Это означает, что нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
