Логические операции

Пусть даны два произвольных высказывания А и В.

1. Выражение АΛВ означает высказывание, истинное только тогда, когда А и В истинны. Такое высказывание называется конъюнкцией высказывания А и В. Символ Λ означает операцию, называемую конъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний союзом «И», «А», «ДА». Будем считать, что если А, В истинны, то они соответственно принимают значение 1, ложно – 0.

Таблица истинности данной операции имеет вид Λ?&

А	В	АΛВ

Логические операции называются конъюнкцией.

2. Выражение А В означает высказывание, истинное, когда, по крайне мере одно из высказывание А или В истинно.

Такое высказывание называется дизъюнкцией высказываний А и В. Символ означает операцию, называемой дизъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказыванием связкой «ИЛИ».

Таблица истинности

А	В	А В

3. Выражение А>В означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Такое высказывание называется импликацией высказываний А и В. Символ > означает операцию, называемую импликацией. Читается «А влечет В» или «если А, то В»

Таблица истинности (А>В) = ( В)

А	В	А>В

4. Выражение А~В означает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны, или оба ложны. Такое высказывание называется эквивалентностью. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказывания «тогда и только тогда, когда». (АВ ) = А~В

А	В	А~В

5. Выражение А означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Такое высказывание называется отрицательным высказыванием А. Черточка над буквой означает операцию, называемую отрицанием. В обычной речи этой операции соответствует образование нового высказывания с помощью частицы НЕ.

А	В

6. Операцией неравнозначности (равноименности) высказываний А,В называют составное высказывание, обозначаемое АВ, которое истинно тогда и только тогда, когда значение истинности высказываний А,В противоположны и ложно в противном случае, что отражается таблицей истинности

А	В	А В

В составленном высказывании порядок выполнения логических операций определяется круглыми скобками, а при их отсутствии сначала выполняется отрицание, а затем конъюнкция, далее дизъюнкция, а потом все остальное. При отсутствии скобок порядок операции совпадает с порядком их перечисления.

Например, определим значение истинности составного высказывания

D=А&(А&В> ) &В

при А=0, В=1, С=1

А&В=0, А&В>С=1

А&(А&В>С)=0

&В=1, D=1.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть D=0. Необходимо найти хотя бы один набор значение высказываний А, В, С, при которых D=0.

В составленном высказывании «D» последней логической операции является дизъюнкция, поэтому составные высказывания

А&(А&В>С)=0

&В=0.

Для того чтобы

А&(А&В> )=0, необходимо чтобы или А=0, или (А&В> )=0

Рассмотрим случай, когда

(А&В> )=0.

Последней операцией здесь является импликация, равная 0 в единственном случае, когда (А&В)=1, а =0. Отсюда имеем С=1, А=1, В=1. Ясно, что при А=1, В=1 составное высказывание &В=0. Таким образом требуемый набор значений А, В, С определен.