double arrow

Вычисление двойного интеграла

Существуют два основных вида области интегрирования:

1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,

х = в (а < в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = j1(х) и у =j2(х)

(j1(х) £ j2(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).

               
 
У
   
     
       
у = j(х)
 
 
 


               
     
у = j1(х)
 
     
Х
 
 
 


Рис. 1

       
 
   
Х
 


Рис. 2

Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию

.

Интеграл называется внутренним. В нем х считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.

Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.

2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми

у = с, у = d (с < d), а слева и справа - непрерывными кривыми х = Y1(у), х = Y2(у) (Y1 (у) £ Y1 (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в котором у считается постоянной.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: