1) Определение напряжения смещения нейтрали.
Напряжение смещения нейтрали U0 может быть найдено методом узловых потенциалов
0 = ( А Y A + В Y В + С Y С)/(Y А + Y В + Y С + Y 0), (4.4.1)
где А, В, С – фазные напряжения фаз А, В и С;
Y А, Y В, Y С и Y 0 – проводимости фаз А, В, С и нулевого провода.
Все величины должны быть записаны в комплексном виде в алгебраической и показательной формах.
При соединении фаз звездой действующие значения фазных Uф. и линейных Uл. напряжений связаны соотношением
Uф. = Uл./ (4.4.2)
Таким образом,
UА = UВ = UС = 660/ = 380 В.
Комплексы напряжений, сопротивлений и проводимостей в показательной и алгебраической формах:
А = 380 е = (380 + j0) В;
В = 380 е = (-190 – j328) В;
С = 380 е = (-190 + j328) В;
Z А = 8 + j6 = 10 е Ом;
Y А = 1/ Z А = 1/ 10 е = 0,1 е = (0,08 – j0,06) См;
Z В = 6 – j8 = 10 е Ом;
Y В = 1/ Z В = 1/10 е = 0,1 е = (0,06 + j0,08) См;
Z С = 23 + j15,3 = 27,6 е Ом;
Y С = 1/ Z С = 1/27,6 е = 0,0362 е = (0,03 – j0,02) См;
Z 0 = 1 + j0 = 1 Ом;
Y 0 = 1/ Z 0 = 1/1 = 1 См.
Напряжение смещения нейтрали по (4.4.1)
а) при наличии нулевого провода
0 = ( 380 е 0,1 е + 380 е 0,1 е + 380 е 0,0362 е ) /
/( 0,08 – j0,06 + 0,06 + j0,08 + 0,03 – j0,02 + 1) = (38 е + 38 е +
+ 13,7е ) / 1,17 = 32,48 е + 32,48 е + 11,75 е = = 26 – j19,5 +12,7 – j30 + 0,752 + j11,75 = 39,45 – j37,75 = 54 е .
б) при обрыве нулевого провода
0= ( 380е 0,1 е + 380е 0,1 е + 380е 0,0362 е ) /
/( 0,08 – j0,06 + 0,06 + j0,08 + 0,03 – j0,02) = (38 е + 38 е +
+ 13,7 е ) / 0,17 = 223,5 е + 223,5 е + 80,9 е =
= 178 – j134 + 87 – j205 + 5,17 + j80,74 = 270 – j258 = 372е .
2) Определение фазных напряжений нагрузки
Напряжение на каждой фазе нагрузки нагр. является разностью фазного напряжения источника питания и напряжения смещения нейтрали 0
нагр. = - 0 (4.4.3)
Напряжения на фазах нагрузки
а) при наличии нулевого провода
А нагр.= А - 0 = 380 - 39,45 + j37,75 = 340,5 + j37,75 = 348 е В;
В нагр. = В - 0= -190 – j328 - 39,45 + j37,75= -229,45 - j290,25=370е В;
С нагр.= С - 0 = -190 + j328 - 39,45 + j37,75 = -229,45 + j365,75=433 е В.
б) при обрыве нулевого провода
А нагр. = А - 0 = 380 - 270 + j258 = 110 + j258 = 280 е В;
В нагр. = В - 0 = -190 – j328 - 270 + j258 = - 460 – j70 = 464 е В;
С нагр. = С - 0 = -190 + j 328 - 270 + j258 = - 460 + j586 = 745 е В.
3) Определение фазных и линейных токов, тока в нулевом проводе
При соединении звездой фазные и линейные токи равны, т.е. Iф.А = Iл.А;
Iф.В = Iл.В; Iф.С = Iл.С;
Если известны напряжения и проводимости Y участков, токи через них
можно определить по закону Ома
= Y (4.4.4)
а) Фазные и линейные токи при наличии нулевого провода
ф.А = л.А = А нагр. Y А = 348 е 0,1 е = 34,8 е =
= (30 – j17,8) А;
ф.В = л.В = В нагр. Y В = 370 е 0,1 е = 37 е =
= (9,35 – j35,7) А;
ф.С = л.С = С нагр. Y С = 433 е 0,0362 е = 15,7 е =
= (0,45 + j15,6) А
Ток в нулевом проводе
0 = 0 Y 0 = 54 е 1 = 54 е А.
Этот же ток может быть найден по второму закону Кирхгофа
0 = ф.А + ф.В + ф.С = 30 – j17,8 + 9,35 – j35,7 + 0,45 + j15,6 = 39,8 - j37,9 = 54 е А.
Совпадение результатов подтверждает правильность выполнения расчетов.
б) Фазные и линейные токи при обрыве нулевого провода
ф.А = л.А = А нагр. Y А = 280 е 0,1 е = 28 е =
= (24,2 + j13,95) А;
ф.В = л.В = В нагр. Y В =464е 0,1 е = 46,4 е =
(- 21,9 – j40,9) А;
ф.С = л.С = нагр. Y С = 745 е 0,0362 е = 27 е =
= (- 2,3 + j26,95) А
Ток в нулевом проводе
0 = 0 Y 0 = 0, т.к. при обрыве нулевого провода его проводимость равна
нулю.
4а) Определение мощностей
Полные мощности фаз Sф. находятся как произведение комплексов фазных напряжений ф. на сопряженные комплексы фазных токов ф.
S = ф. ф. (4.4.5)
Сопряженный комплекс какой-либо величины – комплекс этой величины, в котором знак мнимой части заменен на противоположный.
Например: для комплекса фазного тока ф.В = 9,35 – j35,7 = 37 е его сопряженный комплекс имеет вид: ф.В = 9,35 + j35,7 = 37 е А.
Сопряженные комплексы величин принято обозначать звездочками над их буквенными символами.
Полная мощность каждой фазы по (4.4.5)
S А= А ф.А = 348 е 34,8 е = 11696 е = (9357 + j7017) ВА;
S В= В ф.В = 370 е 37 е = 13690 е = (8214 – j10952) ВА;
S С= С ф.С = 433 е 15,7 е = 6785 е = (5647 + j3757) ВА.
Полная мощность всей нагрузки
S = S А+ S В+ S С = 9357 + j7017 + 8214 – j10952 + 5647 + j3757 = (23218 – j178)ВА.
Активная и реактивная мощности фаз и всей нагрузки находятся как действительная и мнимая части соответствующих комплексов полных мощностей, т.е.
активная мощность фаз
РА = 9357 Вт;
РВ = 8214 Вт;
РС = 5647 Вт;
активная мощность всей нагрузки
Р = РА + РВ + РС = 9357 + 8214 + 5647 = 23218 Вт;
QА = 7017 вар;
QВ = -10952 вар;
QС = 3757 вар;
реактивная мощность всей нагрузки
Q = QА + QВ + QС = 7017 -10952 + 3757 = -178 вар.
Активная мощность каждой фазы может быть также найдена по выражению
Рф. = I ф. Rф., (4.4.6)
где Iф. – действующее значение фазного тока;
Rф. – активное сопротивление фазы.
Тогда
РА = I ф.А Rф.А =(34,8) 8 = 9357 Вт;
РВ = I ф.В Rф.В = (37) 6 = 8214 Вт;
РС = I ф.С Rф.С = (15,7) 23 = 5647 Вт.
4б) Определение коэффициентов мощности
Коэффициент мощности сos является отношением действительных частей комплексов полной мощности или полного сопротивления к их модулям
сos = a/А, (4.4.7)
где а – действительная часть комплекса;
А – модуль величины.
Таким образом, коэффициенты мощности фаз, найденные с использованием различных величин, при правильном решении должны совпасть.
Коэффициенты мощности фаз
сos А = РА/SА = 9357/11696 = 0,8, или сos А = RА/ZА = 8/10 = 0,8
сos В = РВ/SВ = 8214/13690 = 0,6, или сos В = RВ/ZВ = 6/10 = 0,6
сos С = РС/SС = 5647/6785 = 0,8323, или сos С = RС/ZС = 23/27,6 = 0,8333
(Несовпадение значений сos С в третьем знаке вызвано округлением чисел при расчетах).
Средний коэффициент мощности нагрузки находится по мощности всей цепи
сos нагр. ср. = Р/S = 23218 / = 23218/23218,7 =1,0
Полученные при расчете данные сведены в таблицу 8.
Таблица 8 - Результаты расчета трехфазной четырехпроводной цепи
Режим работы цепи | Величина | Комплекс величины | Действующее значение | |
В алгебраической форме | В показательной форме | |||
Нулевой провод исправен | Напряжение смещения нейтрали 0, В | 39,45 – j37,75 | 54 е | |
Фазные напряжения, В | А нагр. | 340,5 + j37,75 | 348 е | |
В нагр. | -229,45 - j290,25 | 370 е | ||
С нагр. | -229,45+ j365,75 | 433 е | ||
Фазные (линейные) токи, А | ф.А = л.А | 30 – j17,8 | 34,8 е | 34,8 |
ф.В = л.В | 9,35 – j35,7 | 37 е | ||
ф.В = л.В | 9,35 – j35,7 | 37 е |
Продолжение таблицы 8
Нулевой провод исправен | Ток в нулевом проводе 0, А | 39,45 – j37,75 | 54 е | |
Полная мощность фаз, ВА | S А | 9357 + j7017 | 11696 е | |
S В | 8214 – j10952 | 13690 е | ||
S С | 5647 + j3757 | 6785 е | ||
Полная мощность цепи S, ВА | 23218 – j178 | 23178 е | ||
Активная мощность фаз, Вт | РА | - | - | |
РВ | - | - | ||
РС | - | - | ||
Активная мощность цепи Р, Вт | - | - | ||
Реактивная мощность фаз, вар | QА | - | - | |
QВ | - | - | -10952 | |
QС | - | - | ||
Реактивная мощность цепи Q, вар | - | - | -178 | |
Коэффициенты мощности фаз | сosА | - | - | 0,8 |
сosВ | - | - | 0,6 | |
сosС | - | - | 0,8323 | |
Средний коэффициент мощности цепи сos | - | - | 1,0 |
Продолжение таблицы 8
Нулевой провод оборван | Напряжение смещения нейтрали 0, В | 270 – j258 | 372е | |
Фазные напряжения, В | А нагр. | 110 + j258 | 280 е | |
В нагр. | -460 – j70 | 464 е | ||
С нагр. | -460 + j586 | 745 е | ||
Фазные (линейные) токи, А | ф.А = л.А | 24,2 + j13,95 | 28 е | |
ф.В = л.В | - 21,9 – j40.9 | 46,4 е | 46,4 | |
ф.С = л.С | - 2,3 + j26,95 | 27 е | ||
Ток в нулевом проводе 0, А |