Решение. 4.2.2.1 Расчет цепи методом контурных токов

4.2.2.1 Расчет цепи методом контурных токов.

1) Определяются контуры, для которых можно составить уравнения контурных токов, и произвольно принимаются направления этих токов. Расчетная схема для расчета методом контурных токов дана на рисунке 11.

Рис. 11. Расчетная схема для расчета цепи методом контурных токов.

2) Уравнения контурных токов для этой схемы имеют вид:

I11 R11 - I22 R12 - I33 R13 = Е11;

- I11 R21 + I22 R22 - I33 R23 = Е22; (4.2.3)

- I11 R31 - I22 R32 - I33 R33 = Е33,

где R11 = R1 + R2 + R4 = 2 + 5 + 1 = 8 Ом; R22 = R2 + R3 + R5 = 5 + 3 + 8 = 16 Ом;

R33 = R4 + R5 + R6 = 1 + 8 + 5 = 14 Ом;

R12 = R21 = R2 =5 Ом; R23 = R32 = R5 =8 Ом; R13 = R31 = R4 =1 Ом;

Е11 = Е1 – Е2 = 30 - 16 = 14 В; Е22 = Е2 – Е3 = 16 - 10 = 6 В; Е33 = 0.

Система уравнений после подстановки числовых значений

8I11 - 5I22 - I33 = 14;

- 5I11 + 16I22 - 8I33 = 6; (4.2.4)

- I11 - 8I22 + 14I33 = 0.

3) Составляются определители контурных уравнений: основной и дополнительные 1, 2, 3.

8 -5 -1 14 -5 -1

= -5 16 -8 = 834; 1 = 6 16 -8 = 2708;

-1 -8 14 0 -8 14

8 14 -1 8 -5 14

2 = -5 6 -8 = 1758; 3 = -5 16 6 = 1198.

-1 0 14 -1 -8 0

4) По найденным определителям вычисляются контурные токи:

I11 = 1 / = 2708/834 = 3,247 А;I22 = 2 / = 1758/834 = 2,108 А;

I33 = 3 / = 1198/834 = 1,436 А.

5) По контурным токам определяются токи в ветвях цепи:

I1 = I11 = 3,247 А; I2 = I11 - I22 = 3,247 – 2,108 = 1,139 А;

I3 = - I22 = - 2,108 А; I4 = I33 – I11 = 1,436 – 3,247 = -1,811 А;

I5 = I33 – I22 = 1,436 – 2,108 = - 0,672 А; I6 = I33 = 1,436 А.

4.2.2.2 Составление системы уравнений Кирхгофа.

1) На схеме (рис. 11) указываются направления токов I 1, I2, I3, I4, I5, I6 в ветвях с учетом их знаков и направлений контурных токов и составляются узловые уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, и 3.

2) Число независимых уравнений на единицу меньше общего числа узлов в цепи.

I6 – I1 – I4 = 0;

I1 + I3 - I2 = 0; (4.2.5)

I4 + I2 – I5 = 0.

3) Выбираются независимые контуры и произвольно принимаются направления их обхода; для всех контуров по второму закону Кирхгофа составляются контурные уравнения.

I6 R1 + I2 R2 – I4 R4 = E1 – E2;

-I2 R2 – I3 R3 – I5 R5 = E2 – E3; (4.2.6)

I4 R4 + I5 R5 + I6 R6 = 0.

4) Проводится правильность расчетов подстановкой найденных значений токов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

4.2.2.3 Замена соединения сопротивлений треугольником соединением звездой.

Треугольником соединены сопротивления R4; R5; R6.

Сопротивления эквивалентного соединения в звезду имеют значения:

R46 = R4 R6/ (R4 + R5 + R6) = 0,357 Ом;

R45 = R4 R5/(R4 + R5 + R6) = 0,571 Ом; (4.2.7)

R56 = R5 R6/(R4 + R5 + R6) = 2,857 Ом;

4.2.2.4 Определение напряжения между точками А и В схемы.

1) Для определения напряжения UАВ составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, который показан штриховой линией на рис. 11

UАВ - I4 R4 + I1 R1 + Е2 = 0 (4.2.8)

2) Из этого уравнения находится UАВ

UАВ = - Е2 - I1 R1 + I4 R4 = -16 - 3,247 2 – 1,811 = -24,305 В.

Действительное направление напряжения между узлами А и В противоположно обозначенному на схеме.

4.2.2.4 Составление баланса мощностей.

При составлении баланса следует учитывать, что мощность, потребляемая всеми элементами цепи, должна быть равна мощности, которую отдают источники электроэнергии. Однако возможно и потребление энергии источником (например, при зарядке аккумулятора). В этом случае направления ЭДС и тока источника противоположны.

1) Мощность источников электроэнергии

Рист. = Е1 I1 + Е2I2 +Е3I3 (4.2.9)

или

Рист. = 30 3,247 -16 1,139 – 10 2,108 = 58,1 Вт.

2) Определяется потребляемая сопротивлениями цепи мощность

РR = I1 R1 + I 2 R2 + I 3 R3 + I4 R4 + I5 R5 + I6 R6 (4.2.10)

После подстановки числовых значений получается РR = 58,1 Вт, т.е. баланс мощностей выполняется, что свидетельствует о правильности вычисления токов в ветвях.