2015-02-04
778
На этом этапе сначала выбирается исходная точка, а затем на основе правила исключения строится относительно широкий интервал, содержащий точку оптимума. Обычно поиск граничных точек такого интервала проводится с помощью эвристических методов поиска. В этом случае (k +1)-я пробная точка определяется по рекуррентной формуле (метод Swann W.H.)
x 
= x 
+2 
D, k = 0, 1, 2,…,
где x 
– произвольно выбранная начальная точка; D − подбираемая некоторым способом величина шага. Знак D определяется путем сравнения значений ¦(x ), ¦(x + |D|) и ¦(x − |D|). Если
¦(x - |D|) ³ ¦(x ) ³ ¦(x + |D|),
то, согласно предположению об унимодальности, точка минимума должна располагаться правее точки x и величина D выбирается положительной. Если изменить знаки неравенств на противоположные, то D следует выбирать отрицательной. Если же
¦(x - |D|) ³ ¦(x ) £ ¦(x + |D|),
то точка минимума лежит между x − |D| и x + |D| и поиск граничных точек завершен. Случай, когда
¦(x - |D|) £ ¦(x ) ³ ¦(x + |D|),
противоречит предположению об унимодальности.
Пример 5.2. Рассмотрим задачу минимизации функции ¦(x) = (100- x) 
при заданной начальной точке x = 30 и величине шага |D| = 5.
Знак D определяется на основе сравнения значений
¦(x ) = ¦(30) = 4900,
¦(x + |D|) = ¦(35) = 4225,
¦(x − |D|) = ¦(25) = 5625.
Так как
¦(x − |D|) ³ ¦(x ) ³ ¦(x +|D|),
то величина D должна быть положительной, а координата точки минимума x 
должна быть больше 30. Имеем x 
= x + D = 35. Далее
x 
= x + 2D = 45, ¦(45) = 3025 < ¦(x ),
откуда x > 35.
x 
= x +2 D = 65, ¦(65) = 1225 < ¦(x ),
откуда x > 45.
x 
= x +2 
D = 105, ¦(105) = 25 < ¦(x ),
откуда x >65.
x 
= x + 2 
D= 185, ¦(185) = 7225 > ¦(x ),
следовательно, x < 185.
Таким образом, шесть шагов вычислений x позволили выявить интервал 65 £ x £ 185, в котором расположена точка x . Эффективность поиска граничных точек зависит от величины шага D. Если D велико – получаем грубые оценки координат граничных точек. Если D мало, то может потребоваться большой объем вычислений.
