Вторая нормальная форма (2НФ)

Пусть X,Y - наборы атрибутов схемы отношения R= PN, ST, GOR, DN, KOL, которое находится в 1НФ и на котором справедливо множество функциональных зависимостей F = {PN ® GOR, GOR ® ST, PN ® ST, (PN, DN) ® KOL}.

Говорят, что Y находится в полной функциональной зависимости от X, если Y функционально зависит от X и не зависит от любого собственного подмножества X.

Пусть X = {PN, DN}, Y = {KOL}. Выясним, находится ли Y в полной функциональной зависимости от X. Анализируя данный экземпляр, делаем вывод о том, что ни одно подмножество набора X функционально не определяет Y. Действительно, атрибут PN функционально не определяет KOL (PN ↛ KOL), и атрибут DN также функционально не определяет KOL (DN ↛ KOL), но набор атрибутов X = {PN, DN} функционально определяет KOL, т.е. (PN,DN) ® KOL. Следовательно, набор атрибутов{PN, DN } функционально полно определяет атрибут KOL:

_F.P.

(PN, DN) ® KOL

Если определить X = {PN,DN} и Y = {GOR}, то в этом случае простая функциональная зависимость между X и Y имеет место, так как {PN,DN} ® GOR, но существует также зависимость PN ® GOR. Поэтому

_{F. P.}

{PN,DN} ↛GOR.

Аналогично можно показать, что нет функционально полной зависимости между атрибутом ST и набором {PN, DN}.

Очевидно, если левая часть простой функциональной зависимости представляет собой одиночный атрибут, то такая зависимость всегда будет функционально полной. Всюду ниже запись X ® Y будем понимать как функционально полную зависимость и для наборов и для одиночных атрибутов.

Как было показано в разделе 1.3.1, первичным ключом отношения R является набор атрибутов (PN, DN), так как (PN, DN)⁺ = PN, DN, ST, GOR, KOL = U (все атрибуты схемы R), но PN⁺ = (PN, ST, GOR) ≠ U и DN⁺ = DN ≠ U. Альтернативного первичного ключа в отношении R нет.

Атрибуты PN и DN, входящие в состав первичного ключа являются ключевыми, остальные атрибуты ST, GOR, KOL – неключевыми.

Выше было показано, что атрибут KOL функционально полно зависит от ключа (PN, DN), чего нельзя сказать о неключевых атрибутах ST и GOR.

Улучшить схему отношения R, сделав все зависимости функционально полными от ключа, можно, используя декомпозицию исходного отношения R на две декомпозиционные подсхемы. Рассмотрим декомпозицию r₁ = {R₁, R₂} схемы R, где

R₁ = PN, ST, GOR и R₂ = PN, DN, KOL

Первичные ключи в подсхемах выделены.

Теперь неключевые атрибуты ST и GOR в подсхеме R₁ также функционально полно зависят от первичного ключа PN, так как первичный ключ – одиночный атрибут.

Остается проверить, обладает ли декомпозиция r₁ двумя свойствами.

Проверяем свойство соединения без потерь информации. Для этого воспользуемся алгоритмом из раздела 1.8.2.1. Строим матрицу, столбцами которой являются атрибуты отношения R, а строками – декомпозиционные подсхемы R₁ и R₂ . Заполняем матрицу символами “а” и “b_i” по правилу, изложенному в разделе 1.8.2.1. Просматривая зависимости из F, например, в направлении слева - направо, после анализа зависимостей PN ® ST и PN ® GOR получим в ниже приведенной таблице строку, сплошь состоящую из символов “a”:

PN ST GOR DN KOL

PN, ST, GORa a a b₁b₁

PN, DN, KOL a b₂a b₂a a a

Следовательно, рассматриваемая декомпозиция обладает свойством соединения без потерь информации.

Декомпозиция r₁ также обладает и свойством сохранения функциональных зависимостей, так как F₁ = p_R1(F) = {PN ® GOR, GOR ® ST, PN ® ST},

F₂ = p_R2(F) = {(PN,DN) ® KOL} и (F₁ ÈF₂)⁺ = F⁺ (см. раздел 1.8.2.2).

Таким образом, исходное отношение R может быть заменено двумя отношениями R₁ = PN, ST, GOR и R₂ = PN, DN, KOL, в которых неключевые атрибуты функционально полно зависят от ключа и на которых справедливы множества функциональных зависимостей: на R₁ – множество F₁ и на R₂ – множество F₂.

Отношение со схемой R и множеством функциональных зависимостей F находится во 2НФ, если оно находится в 1НФ, и каждый неключевой атрибут функционально полно зависит от любого возможного первичного ключа схемы отношения R.

Таким образом, полученные отношения R₁ и R₂ находятся во второй нормальной форме.