Непрерывные системы случайных величин

Так же как и раньше мы определим двумерную непрерывную случайную величину как такую случайную величину, функция распределения которой непрерывна.

С помощью функции можно найти вероятность любого события вида

, (6)

т.е. вероятность попадания точки с координатами в прямоугольник Q вида

(Рис.1)

Для этого применим к событиям и формулу сложения вероятностей:

Если теперь учесть, что события и (6) несовместны и в сумме составляют событие , то будем иметь:

что и решает поставленную задачу.

Перечислим ряд свойств функции .Их доказательство проводится так же, как и в случае одной случайной величины .

1. F(x_2,y₂)+F(x_1,y₁)-F(x_1,y₂) - F(x_2,y₁) ≥0, если х₁≤х₂, у₁≤у₂ это следует из (7)

2. F(x, y) является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

3. F(x, y) непрерывна слева по каждому из аргументов.

4. F(x, y) удовлетворяет соотношениям:

F (+∞, +∞) = F(х, y) =1,

Свойства 1-4, как можно показать, являются характеристическими свойствами функции распределения. Это значит, что любая функция F(х, у), удовлетворяющая свойствам 1-4, является двумерной функцией распределения для некоторой системы случайных величин (ξ,η).

Рассмотрим наиболее важный класс систем (ξ,η) с непрерывным распределением, для которых существует плотность вероятности.

Определение. Двумерная случайная величина (ξ,η) с функцией распределения F(x,y) имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функция

p(x, y) такая, что

F(x, y) = . (8)

Функция p(х,у) называется двумерной плотностью распределения (или плотностью вероятности) системы (ξ, η).

Из определения плотности p(x, y) следуют её свойства.

p(х,y)≥0, . (9)

Функция p(х,у), удовлетворяющая (9), может быть плотностью некоторого распределения с функцией распределения, заданной формулой (8).

Из формулы (8) следует, что

p(х,у) = . (10)

Заметим, что в случае непрерывного распределения, вероятность события ((ξ,η) Г), где Г-кривая на плоскости, равна нулю.

Из определения также следует, что

F_ξ (x)= .

В случае существования плотности формула (7) преобретает наглядный вид:

P(x₁≤ξ≤x₂, y₁≤η≤y₂) = , (11)

где Q - прямоугольник (см. рис.1).

Из формулы сложения вероятностей и определения двойного интеграла, отсюда следует, что вероятность попадания точки с координатами (ξ,η) в заданную (измеримую) область произвольной формы G будет равна

P (() G)= . (12)

Примером многомерной плотности служит плотность p(x,y) равномерного распределения на области G конечной площади μ (G)в плоскости, задаваемая равенством

p(x,y) =