Рассмотрим автономную систему
(4.1)
и будем исследовать устойчивость ее положения равновесия .
Определение 4.1. Положение равновесия системы (4.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого можно указать такое, что:
1) если , то решение системы (4.1) определено при всех ;
2) при всех выполнено условие .
Если к тому же , то состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Пусть V (x) – функция переменной . Будем говорить, что функция V (x) положительно определена в окрестности U точки , если при и . Если же в окрестности U выполнены условия при и , то будем говорить, что функция V(x) отрицательно определена в окрестности U.
Приведенная ниже теорема А.М.Ляпунова является одной из центральных теорем так называемого второго метода Ляпунова, играющего важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений.
Теорема 4.1. (Терема Ляпунова об устойчивости ).Если в некоторой окрестностиUположения равновесия системы (4.1) существует непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V(x) такая, что ее производная в силу этой системы не положительна в указанной окрестности, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
Теорема 4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в некоторой окрестности U положения равновесия системы (4.1) существует непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V(x) такая, что ее производная в силу этой системы отрицательно определена в U. Тогда положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Везде ниже, без ограничения общности, будем считать, что , т.е. – положение равновесия системы (4.1), и будем исследовать устойчивость этого положения равновесия.
Теорема 4.2 не дает оценки скорости стремления к нулю при . Следующее утверждение позволяет получить такую оценку.
Теорема 4.3. Пусть положение равновесия системы (4.1) и существует положительно определенная в некоторой окрестности точки функция V(x) такая, что
, (4.2)
где – некоторые положительные числа.
Тогда существует такая постоянная , что при для всех достаточно малых .
Существуют теоремы, устанавливающие условия неустойчивости положения равновесия системы (4.1). Наиболее сильной из них является теорема Четаева. Для того, чтобы сформулировать эту теорему, введем некоторые дополнительные понятия. Пусть – непрерывно дифференцируемая функция, определенная в области , содержащей начало координат . Предположим, что и что существует сколь угодно близкая к началу координат точка такая, что . Выберем так, чтобы шар содержался в и положим
. (4.3)
Множество непустое и содержится в (рис.4.1). Его границу составляют поверхность и сфера . Поскольку , начало координат лежит на границе множества .
Теорема 4.4. (теорема Четаева). Пусть – положение равновесия системы (4.1). Пусть – непрерывно дифференцируемая функция такая, что и для некоторой точки такой, что произвольно малая величина. Определим соотношением (4.3) и предположим, что в . Тогда – неустойчивое положение равновесия системы (4.1).
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение теорем Ляпунова и Четаева.
Пример 4.1. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
Здесь, очевидно, – положение равновесия. Для исследования его на устойчивость рассмотрим функцию . Производная этой функции в силу рассматриваемой системы
.
Положим . Тогда , а
Следовательно, возмущенное движение устойчиво по Ляпунову. Однако асимптотическую устойчивость мы гарантировать не можем.
Пример 4.2. Рассмотрим систему
В качестве функции Ляпунова возьмем . Имеем,
.
По теореме 4.2 состояние равновесия (0,0) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Пример 4.3. Рассмотрим систему
Будем искать функцию Ляпунова в виде . Тогда . Полагая , получим .
Заметим, что . Кроме того, . То есть, выполнены соотношения (4.2) с . Поэтому, согласно теореме 4.3, существует такая постоянная , что при для всех достаточно малых .
Пример 4.4.. Рассмотрим систему
Пусть . . Очевидно, в той области на плоскости , где (рис. 4.2). Значит, выполнены все условия теоремы Четаева, и состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.