Метод касательных (Метод Ньютона)

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Причем производные f ‘(x) и f ’’(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки.

Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0, т.е. f ‘(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки (рис. 2.11)

y

B0

в

b

ξ

a

x2

x1

x

Рис. 2.11

Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B₀(b, f(b)).

Уравнение касательной в точке B₀: y-f(b)=f ’(b)(x-b).

Полагая y=0, найдем .

Теперь .

Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

(2.4)

Пусть теперь f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.12)

y

x1

x2

b

ξ

a

x

A0

Рис. 2.12

Если снова провести касательную к кривой в точке B, то она пересечет ось ox в точке не принадлежащей отрезку [a, b].

Поэтому проведем касательную в точке A₀(a, f(a)).

Ее уравнение y-f(a)=f ‘(a)(x-a).

Находим x₁, полагая y=0

.

Корень , применяя снова метод касательных, получим

и т.д., тогда

(2.5)

Сравнивая формулы (2.4) и (2.5) между собою, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x₀ принимают конец b отрезка, во втором – конец a. При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за начальную точку следует выбрать тот конец отрезка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком производной.

Условие окончания вычислительного процесса: , где - заданная точность.